Von der Euler-Lagrange-Gleichung zur nicht-affinen geodätischen Gleichung

Lassen$L = \sqrt {g_{\mu\nu}(x) \dot x^\mu \dot x^\nu}$, Wo$\dot x^\mu = \frac {d}{ds} (x^\mu)$

Nicht das :$\frac {d}{ds} = (\frac {d}{ds} (x^\beta)) \partial_\beta = \dot x^\beta \partial_\beta$

Euler-Lagrange-Gleichungen ergeben:

$$\frac {1}{2L}(g_{\mu\nu,\alpha}\dot x^\mu \dot x^\nu) = \frac {1}{2L}2 \frac {d}{ds}(g_{\mu\alpha} \dot x^\mu)$$

(Hier die Notation$g_{\mu\nu,\alpha}$bedeutet$\frac {\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^\alpha}$)

Gehe hier davon aus$L \neq0$(wir betrachten hier massive Teilchen):

$$g_{\mu\nu,\alpha}\dot x^\mu \dot x^\nu = 2[(\frac {d}{ds}g_{\mu\alpha})\dot x^\mu + g_{\mu\alpha} \frac{d}{ds}\dot x^\mu]$$

$$g_{\mu\nu,\alpha}\dot x^\mu \dot x^\nu = 2[ g_{\mu\alpha,\beta}\dot x^\beta \dot x^\mu + g_{\mu\alpha} \frac{d}{ds}\dot x^\mu]$$

Wenn wir die Indizes auf der linken Seite umbenennen, erhalten wir:

$$g_{\beta\mu,\alpha}\dot x^\beta \dot x^\mu = 2[ g_{\mu\alpha,\beta}\dot x^\beta \dot x^\mu + g_{\mu\alpha} \frac{d}{ds}\dot x^\mu]$$

Die Symmetrierung auf der rechten Seite geht zu:

$$g_{\beta\mu,\alpha}\dot x^\beta \dot x^\mu = (g_{\mu\alpha,\beta} + g_{\beta\alpha,\mu}) \dot x^\beta \dot x^\mu + 2 g_{\mu\alpha} \frac{d}{ds}\dot x^\mu$$

Das ist :

$$g_{\mu\alpha} \frac{d}{ds}\dot x^\mu + \frac{1}{2} ( g_{\mu\alpha,\beta} + g_{\beta\alpha,\mu} - g_{\beta\mu,\alpha})\dot x^\beta \dot x^\mu = 0$$

Jetzt multiplizieren mit$g^{\gamma \alpha}$die beiden Seiten erhalten wir:

$$\frac{d}{ds}\dot x^\gamma + \frac{1}{2} g^{\gamma \alpha}( g_{\mu\alpha,\beta} + g_{\beta\alpha,\mu} - g_{\beta\mu,\alpha})\dot x^\beta \dot x^\mu = 0$$

Was nichts anderes ist als:

$$\frac{d}{ds}\dot x^\gamma + \Gamma^{\gamma}_{\beta \mu} \dot x^\beta \dot x^\mu = 0$$

Zur 1. Teilfrage von OP:

1. Einerseits die EL-Gleichungen

   $$\frac{\partial L_0}{\partial x^i}-\frac{d}{d\lambda}\frac{\partial L_0}{\partial \dot{x}^i}~\approx~0 \tag{1}$$ für eine Nicht-Quadratwurzel-Lagrangefunktion $$L_0(x,\dot{x})~:=~ g_{ij}(x) \dot{x}^i \dot{x}^j~\geq~0\tag{2}$$ führt auf die affine geodätische Gleichung $$\nabla_{\dot{\gamma}} \dot{\gamma}~=~0 , \tag{3}$$ deren Lösungen affin parametrisiert geodätisch sind, dh die Bogenlänge$s=a\lambda +b$ist eine affine Funktion des Parameters$\lambda$.

2. Andererseits die EL-Gleichungen

   $$\begin{align} \frac{\partial \sqrt{L_0}}{\partial x^i}-\frac{d}{d\lambda}\frac{\partial \sqrt{L_0}}{\partial \dot{x}^i}~\approx~&0 \cr\cr \Updownarrow~& \cr\cr \frac{\partial L_0}{\partial x^i}-\frac{d}{d\lambda}\frac{\partial L_0}{\partial \dot{x}^i} ~\approx~&-g_{ij}(x) \dot{x}^j\frac{d \ln L_0}{d\lambda}\end{align} \tag{4}$$ für einen Quadratwurzel-Lagrange$\sqrt{L_0}$führt zur (nicht-affinen) geodätischen Gleichung, deren Lösungen beliebig parametrisierte Geodäten sind.

Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.