Ermitteln von 3-Sphären-Christoffel-Verbindungskoeffizienten mithilfe der Variationsrechnung, Sean-Carrol-Problem

Question

Ermitteln von 3-Sphären-Christoffel-Verbindungskoeffizienten mithilfe der Variationsrechnung, Sean-Carrol-Problem

Kevin Murray

Ich habe eine 3-Sphäre mit Koordinaten $x^{\mu} = (\psi,\theta,\phi)$ und die folgende Metrik:

d s^{2} = d ψ^{2} + {Sünde}^{2} ψ (d θ^{2} + {Sünde}^{2} θ d ϕ^{2})

$\begin{equation} ds^2 = d\psi^2 + \text{sin}^2\psi(d\theta^2 + \text{sin}^2\theta d\phi^2) \end{equation}$

Ich weiß, wie man die Verbindungskoeffizienten unter Verwendung der metrischen Ableitungen usw. erhält, aber ich suche nach einer Möglichkeit, dies durch Variationsrechnung zu tun. Ein Problem in Sean Carroll (Übung 3.11 Frage 8 a) Einführung in die Allgemeine Relativitätstheorie schlug vor, das folgende Integral zu variieren, um die Verbindungskoeffizienten zu finden:

ich = \frac{1}{2} \int g_{μ v} \frac{d x^{μ}}{d τ} \frac{d x^{v}}{d τ} d τ

$\begin{equation} I = \frac{1}{2}\int g_{\mu \nu}\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\frac{dx^{v}}{d\tau} d\tau \end{equation}$

Ich habe also einen Lagrange:

L = {\dot{ψ}}^{2} + ({Sünde}^{2} ψ) {\dot{θ}}^{2} + ({Sünde}^{2} ψ) ({Sünde}^{2} θ) {\dot{ϕ}}^{2}

$\begin{equation} \mathcal{L} = \dot{\psi}^2 + (\text{sin}^2\psi) \dot{\theta}^2 + (\text{sin}^2\psi)(\text{sin}^2\theta)\dot{\phi}^2 \end{equation}$

Was ich in die Euler-Lagrange-Gleichung eingesetzt habe:

\frac{\partial}{\partial τ} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}^{μ}}) - \frac{\partial L}{\partial x^{μ}} = 0

$\begin{equation} \frac{\partial}{\partial \tau}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}^\mu}\right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x^\mu} = 0 \end{equation}$

Bin ich hier auf dem richtigen Weg? Was ist die Strategie, um dies zurück zu den Verbindungssymbolen zu bringen? Die Literatur ist nicht allzu klar und ich habe Mühe, die Verbindung herzustellen.

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Jerry Schirmer · Answer 1

Ich zeige Ihnen, wie Sie dies für die 2-Ebene in Polarkoordinaten tun. Sobald Sie dies ausgearbeitet haben, sollte es machbar sein, es in Ihrem Fall auszuarbeiten.

Sie beginnen mit der Metrik

d s^{2} = d r^{2} + r^{2} d θ^{2}

$ds^{2} = dr^{2} + r^{2}d\theta^{2}$

Da die Geodäten dieser Metrik (d. h. gerade Linien) die Entfernung minimieren, wissen wir, dass die Geodäten ein Extremum von sind:

ich = \frac{1}{2} \int d s ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{θ}}^{2})

$I = \frac{1}{2}\int ds \left({\dot r}^{2} + r^{2}{\dot \theta}^{2}\right)$

Wir nehmen die Variation davon und erhalten

δ ich = \int d s (\dot{r} δ \dot{r} + r {\dot{θ}}^{2} δ r + r^{2} \dot{θ} δ \dot{θ})

$\delta I = \int ds \left({\dot r}\delta {\dot r} + r{\dot \theta}^{2} \delta r + r^{2}{\dot \theta} \delta{\dot \theta}\right)$

Gemäß unserem üblichen Verfahren möchten wir in Bezug auf die ursprünglichen Variablen und nicht auf ihre zeitliche Ableitung variieren. Wir vernachlässigen auch die Variation an der Grenze und nehmen dies an $\delta {\dot x} = \frac{d}{ds}\delta x$ . Wir integrieren also partiell und erhalten:

δ ich = \int d s ((- \ddot{r} + r {\dot{θ}}^{2}) δ r + (- \ddot{θ} r^{2} - 2 r \dot{r} \dot{θ}) δ θ)

$\delta I = \int ds\left(\left(-{\ddot r} + r{\dot \theta}^{2}\right)\delta r + \left(-{\ddot\theta}r^{2} - 2r{\dot r}{\dot\theta}\right)\delta \theta\right)$

Da die Geodäte unabhängig von den Schwankungen Null sein muss $\delta r$ und $\delta \theta$ , wissen wir, dass die Terme innerhalb der Klammern unabhängig voneinander Null sein müssen, und wir erhalten:

\begin{aligned} 0 & = \ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2} \\ 0 & = \ddot{θ} + \frac{1}{r} (\dot{r} \dot{θ} + \dot{θ} \dot{r}) \end{aligned}

$\begin{align} 0 &= {\ddot r} - r{\dot \theta}^{2}\\ 0 &= {\ddot \theta} + \frac{1}{r}\left({\dot r}{\dot \theta} + {\dot \theta}{\dot r}\right) \end{align}$

Nun, wir haben dies als ein System von Gleichungen, und wir erinnern uns, dass die geodätische Gleichung in Bezug auf Christoffel-Symbole dies ist $0={\ddot x}^{a} + \Gamma_{bc}{}^{a}{\dot x}^{b}{\dot x}^{c}$ , und wir schließen daraus $\Gamma_{\theta \theta}{}^{r} = -r$ , $\Gamma_{r\theta}{}^{\theta} = \Gamma_{\theta r}{}^{\theta} = \frac{1}{r}$ , und dass alle anderen Null sind.

Vielen Dank, das hat sehr geholfen. Ich war verwirrt von der Integrationsvariablen (verwechselte sie mit Zeit und war dann verwirrt, dass ich keine Zeit als Koordinate hatte) und wusste nicht, dass ich sie dem affinen Parameter in der geodätischen Gleichung zuordnen konnte.
@KevinMurray: kein Problem! Als Bonus, den ich oben einschließen wollte und vergessen habe, beachten Sie auch, dass alle Variationen in Bezug auf $\theta$ ist aufgrund der Variation in Bezug auf $\dot \theta$ . Wenn Sie also Teile integrieren, sollte dies klar sein $\frac{d}{ds}\left(r^{2}{\dot \theta}\right) = 0$ , was bedeutet, dass $r^{2}{\dot \theta} = C$ für einen konstanten Wert $C$ auf Ihrer Geodäte. Das hängt damit zusammen, dass $\partial_{\theta}$ ist ein Tötungsvektor der 2-Ebene. Dieser Trick kann die Aufgabe, tatsächlich nach Geodäten zu lösen, viel schneller erledigen.

Kyle Kanos · Answer 2

Die Strategie besteht darin, sich an die geodätische Gleichung zu erinnern,

\begin{matrix} (1) & \frac{d^{2} x^{λ}}{d t^{2}} + Γ_{μ v}^{λ} \frac{d x^{μ}}{d t} \frac{d x^{v}}{d t} = 0 \end{matrix}

$\frac{d^2x^\lambda}{dt^2}+\Gamma^\lambda_{\,\mu\nu}\frac{dx^\mu}{dt}\frac{dx^\nu}{dt}=0\tag{1}$

Aus Ihrem Lagrange erhalten Sie Gleichungen der Form

\begin{aligned} \ddot{ψ} & = f (ψ, θ, ϕ, \dot{ψ}, \dot{θ} \dot{ϕ}) \\ \ddot{θ} & = g (ψ, θ, ϕ, \dot{ψ}, \dot{θ} \dot{ϕ}) \\ \ddot{ϕ} & = h (ψ, θ, ϕ, \dot{ψ}, \dot{θ} \dot{ϕ}) \end{aligned}

$\begin{align} \ddot{\psi}&=f(\psi,\,\theta,\,\phi,\,\dot{\psi},\,\dot{\theta}\,\dot{\phi})\\ \ddot{\theta}&=g(\psi,\,\theta,\,\phi,\,\dot{\psi},\,\dot{\theta}\,\dot{\phi})\\ \ddot{\phi}&=h(\psi,\,\theta,\,\phi,\,\dot{\psi},\,\dot{\theta}\,\dot{\phi})\\ \end{align}$ auf die Sie sich beziehen (1) Index für Index.

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