Bilden Sie einen metrischen Tensor aus der kinetischen Energie

Es scheint, dass OP speziell nach Jacobis Formulierung des Maupertuis-Prinzips für die abgekürzte Aktion fragt

$$A[q, E] ~:=~\int \! p_i ~dq^i, \qquad p_i~:=~\frac{\partial L}{ \partial\dot{q}^i} ,\tag{1}$$

wobei wir nur (virtuelle) Pfade betrachten$q$im verallgemeinerten Ortsraum${\cal Q}$mit ein und derselben festen Energie$E$. Die (verallgemeinerte, nicht-relativistische) kinetische Energie

$$T~=~\frac{1}{2} M_{jk}(q) \dot{q}^j \dot{q}^k\tag{2}$$

ist oft eine quadratische Funktion der verallgemeinerten Geschwindigkeiten. Daher können wir eine Riemannsche Metrik aufbauen

$$ds^2 ~=~M_{jk}(q) ~dq^j ~dq^k \tag{3}$$

im verallgemeinerten Ortsraum${\cal Q}$mit Hilfe der verallgemeinerten Massenmatrix$M_{jk}(q)$. Die abgekürzte Aktion (1) nimmt dann eine Quadratwurzelform an:

$$A[q, E] ~=~\int \sqrt{2(E-V(q)}ds.\tag{4}$$

Wenn die potentielle Energie$V(q)$eine Konstante ist, dann ist die Quadratwurzel in Gl. (4) wird zu einer Konstante und der Minimalwert der abgekürzten Aktion wird über Geodäten im verallgemeinerten Positionsraum erreicht${\cal Q}$.

Verweise:

1. H. Goldstein, Klassische Mechanik; Abschnitt 8.6.

2. LD Landau & EM Lifshitz, Mechanik, Bd. 1, 1976; §44.

--

Das Energieintervall ist

$$(mc^2)^2~=~E^2~-~(pc)^2$$ wo die rechte Seite die gleiche ist wie $$E^2~-~(pc)^2~=~m^2\left(\frac{dt}{ds}\right)^2~-~m^2\sum_{i=1}^3\left(\frac{dx_i}{ds}\right)^2~=~m^2\left(\frac{dx_\mu}{ds}\right)\left(\frac{dx^\mu}{ds}\right).$$ Der metrische Tensor wird als "Maschine" eingeführt, die Indizes senkt und erhöht, so dass jetzt $$1~=~g_{\mu\nu}\left(\frac{dx^\mu}{ds}\right)\left(\frac{dx^\nu}{ds}\right),$$ und das Linienelement wird durch Multiplizieren mit gefunden $ds^2$

Die kinetische Energie ist

$$K~=~g_{\mu\nu}\left(\frac{dx^\mu}{ds}\right)\left(\frac{dx^\nu}{ds}\right).$$ Wir haben auch mit $mc^2ds$ein Begriff, der "Energiezeit" ist. wir können dies als Aktion nehmen $$mc^2\int ds~=~\int\sqrt{g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu}.$$ Es ist ein typisches Problem der oberen Klasse von Studenten bis zum ersten Jahr der Graduiertenschule, die Variation davon durchzuführen, um die geodätische Gleichung zu finden.