Null geodätisch gegebene Metrik

Question

Null geodätisch gegebene Metrik

Hetherson

Ich brauche (dringend) Hilfe bei folgendem:

Was ist die Null-Geodäte für die Raumzeit?

D S^{2} = - X^{2} D T^{2} + D X^{2} ?

$ds^2=-x^2 dt^2 +dx^2?$

Ich weiß nicht, wie man eine Metrik in eine Geodäte umwandelt ...! Es ist nicht erforderlich, von der Lagrange-Funktion auszugehen. ich weiß, dass

0 = G_{ich J} v^{ich} v^{J}

$0=g_{ij}V^iV^j$ Wo

V^{i} = \frac{d x^{i}}{d λ}

$V^i={dx^i\over d\lambda}$ Wo

λ

$\lambda$ ist irgendein Parameter. Aber ich weiß weder, was dieser Parameter ist, noch, wie ich die Geodäte finden soll.

Vielen Dank!! Bitte helfen Sie!

Benutzer10851

Eine Geodäte ist nur eine spezielle Art von Kurve, und der Parameter ist, nun ja, nur ein Parameter, der diese Kurve parametrisiert, und spielt daher letztendlich keine Rolle. Außerdem sind Geodäten nur dann eindeutig, wenn Sie mehr über sie angeben, z. B. einen Punkt auf der Kurve und eine Richtung auf dieser Kurve. Stellen Sie sicher, dass Sie verstehen, was diese Objekte sind, bevor Sie sich mit der Symbolmanipulation befassen.

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Null geodätisch gegebene Metrik

Eine Geodäte ist nur eine spezielle Art von Kurve, und der Parameter ist, nun ja, nur ein Parameter, der diese Kurve parametrisiert, und spielt daher letztendlich keine Rolle. Außerdem sind Geodäten nur dann eindeutig, wenn Sie mehr über sie angeben, z. B. einen Punkt auf der Kurve und eine Richtung auf dieser Kurve. Stellen Sie sicher, dass Sie verstehen, was diese Objekte sind, bevor Sie sich mit der Symbolmanipulation befassen.

Frech · Answer 1

Wie Sie bereits erwähnt haben, impliziert eine Null-Geodäte:

G_{μ v} U^{μ} U^{v} = {(\frac{D S}{D λ})}^{2} = 0

$g_{\mu \nu} U^{\mu} U^{\nu}=\left (\frac{ds}{d \lambda} \right )^2=0$

Wo $\lambda$ ist ein affiner Parameter. Wenn du nimmst $\lambda=t$ , dann bedeutet dies:

- X^{2} + {(\frac{D X}{D T})}^{2} = 0

$-x^2+\left ( \frac{dx}{dt} \right )^2=0$

So $~dx/dt=\pm x$ ist eine Nullgeodäte. (Nehmen Sie eine zweite zeitliche Ableitung, um die tatsächliche Geodäte zu erhalten.)

Danke, elfmotat. Was meinst du mit der "eigentlichen" Geodäte?
Ich meine die Differentialgleichung zweiter Ordnung, die "geodätische Gleichung" genannt wird.
Hallo @Jold, wie konntest du das einstellen $\lambda=t$ ? Woher wissen wir $t$ (Ich nehme an, die Zeit, die für einen Beobachter vergeht, der sich nicht im Ruhesystem des Teilchens befindet) ist ein affiner Parameter?

Jerry Schirmer · Answer 2

Der einfachste Weg, dies zu lösen, besteht darin, so zu tun, als wäre es ein Lagrange:

ICH = \frac{1}{2} \int D λ (- X^{2} {\dot{T}}^{2} + {\dot{X}}^{2})

$I = \frac{1}{2}\int d\lambda \left(-x^{2}{\dot t}^{2} + {\dot x}^{2}\right)$

Wo beides $t$ Und $x$ sind Funktionen von $\lambda$ , Und ${\dot x} \equiv \frac{dx}{d\lambda}$ .. Nehmen Sie die Variation der Aktion, finden Sie das Minimum und stellen Sie dann Ihre Konstanten so ein, dass Ihre Geodäte null ist.

Null geodätisch gegebene Metrik

Hetherson

Benutzer10851

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