Die geodätische Linie auf der Poincare-Halbebene

Du sagst$C,\lambda$sind Integrationskonstanten, aber das gibt$\ddot{x}-\lambda\dot{x} = 0$stattdessen. Da Ihr Follow-up inkonsistent wäre, gehe ich davon aus, dass Sie gemeint haben$C,\omega$sind Integrationskonstanten.

Die geodätische Gleichung sollte nicht drei Komponenten haben, sondern zwei:

Ich gebe Ihnen einen weiteren Hinweis, um das zu sagen, da die$x$-Koordinate ist zyklisch,$\dot{x} = Ey^2$für einige konstant$E$. Wenn Sie mit Killing-Vektorfeldern nicht vertraut sind, können Sie dies anhand der Euler-Lagrange-Gleichungen erkennen$L = \frac{1}{2}g(u,u)$, wo$u^\mu = (\dot{x},\dot{y})$, was auch eine gute Möglichkeit ist, Geodäten zu finden.

Obwohl das Folgende Ihre Frage nicht direkt beantwortet (was natürlich eine Bitte um eine Überprüfung der "GR" -Methode zur Berechnung der Geodäten ist und die Stan Liou perfekt gemacht hat ), kann ich nicht widerstehen, die folgende elegante kleine Charakterisierung aufzuschreiben Geodäten in der hyperbolischen Ebene. Ich glaube, dass Gedanken in der folgenden Richtung, obwohl sehr einfach und spezialisiert, dazu beitragen, eine Intuition für hyperbolische Geometrie und für einige der grundlegenden Verhaltensweisen der negativ gekrümmten Raumzeit zu entwickeln. Natürlich ersetzt sie nicht die "GR"-Methode, da sie viel spezialisierter ist.

Ich skizziere den Beweis einfach, da er nicht ganz so kompakt ist, wie ich ihn ausgeschrieben in Erinnerung hatte, aber dennoch eine Aneinanderreihung kleiner Juwelen ist: leicht zu erfassende, einfache und klare Orientierungspunkte, die man beim Nachdenken im Kopf behalten kann so etwas. Wenn ich Details ausfüllen soll, füge ich diese natürlich meiner Antwort hinzu.

Die hyperbolische Ebene:

ist mit der hyperbolischen Metrik ausgestattet, die definiert ist durch:

das ist das gleiche wie Ihre Metrik, abgesehen von einer Skalierungskonstante. Man studiert gern$\mathbb{H}^2$zusammen mit der Poincaré-Scheibe:

das ist das isometrische Bild von$\mathbb{H}^2$unter der bilinearen Transformation:

und Sie können leicht zeigen, dass die Metrik in$\mathbb{D}^2$ist definiert durch:

wo$|\mathrm d\omega|$ist die alltägliche euklidische Metrik in$\mathbb{D}^2$.

Beachten Sie, dass das Folgende eindeutig Isometrien von sind$\mathbb{H}^2$:

1. "Seitwärtsübersetzungen", dh $$T_\lambda(z) = \lambda + z; \,\lambda \in \mathbb{R}\tag{6}$$
2. "Dilatationen", dh $$D_\rho(z) = \rho\,z;\,\rho\in \mathbb{R},\,\rho>0\tag{7}$$

und auch die Transformation, die einer Drehung um einen beliebigen Winkel entspricht$\theta$über den Ursprung in der Scheibe$\mathbb{D}^2$, dh $\omega\mapsto e^{i\theta} \omega$, was der bilinearen Transformation entspricht:

denn nach (5) handelt es sich eindeutig um eine Isometrie in$\mathbb{D}^2$und$\mathbb{D}^2$und$\mathbb{H}^2$sind isometrisch äquivalent.

Daher rufen wir jetzt auf:

Satz (Poincaré) : Die Gruppe$PSL(2, \mathbb{R})$von bilinearen Transformationen der Form:

ist genau die Gruppe der Isometrien von$\mathbb{H}^2$; das heißt, jede Transformation dieser Art ist eine Isometrie, und alle Isometrien sind von dieser Art.$\square$

In der Tat, obwohl hier nicht relevant,$PSL(2, \mathbb{R})$ist auch genau die Gruppe der konformen Transformationen von$\mathbb{H}^2$, dh alle Abbildungen dieser Art sind konform, und jede global konforme Bijektion$\mathbb{H}^2\to \mathbb{H}^2$ist von dieser art.

Um den ersten Teil zu beweisen, zeigt man, dass alle derartigen bilinearen Abbildungen in die folgende Zusammensetzung bekannter distanzerhaltender Abbildungen oben zerlegt werden können:

Um die Umkehrung zu beweisen, zeigt man, dass jede distanzerhaltende Karte durch die Bilder von drei nicht kollinearen Punkten bestimmt wird$A, B, C\in\mathbb{H}^2$weil jeder andere Punkt$D\in \mathbb{H}^2$wird durch seinen Abstand von den Referenzpunkten festgelegt$A, B, C$und ihre Bilder.

Nun betrachtet man Strecken$PQ$zwischen beliebigen Punktpaaren$P$und$Q$auf der imaginären Achse in$\mathbb{H}^2$.

Eindeutig aus (2) für alle$C^0$Weg$\Gamma$zwischen$P$und$Q$,$ds^\prime \geq ds$wenn wir den Pfad wie gezeigt auf die imaginäre Achse projizieren. Daher ist die eindeutige geodätische Verbindung zweier Punkte auf der imaginären Achse einfach ein Segment der imaginären Achse zwischen diesen beiden Punkten.

Es ist dann nicht schwer zu zeigen, dass irgendwelche zwei Punkte$A,B\in\mathbb{H}^2$sind die Bilder von zwei Punkten$P$und$Q$auf der imaginären Achse unter einer Abbildung in der Gruppe$PSL(2,\mathbb{R})$von Isometrien von$\mathbb{H}^2$und dieses Gruppenmitglied ist eindeutig definiert durch$A$und$B$.

Daher ist nach dem Satz von Poincaré das Bild der Strecke$PQ$entlang der imaginären Achse, die durch diese einzigartige Karte definiert ist, befindet sich die einzigartige geodätische Mitte$A$und$B$. Da bilineare Transformationen Kreise auf Kreise abbilden ( dh "Kreis", wie im gewohnten euklidischen Raum definiert), ist das geodätische Dazwischen$A$und$B$ist der Bogen eines euklidischen Kreises. In der Tat ist es der Bogen zwischen den zwei Punkten des einzigartigen euklidischen Kreises, der hindurchgeht$A$und$B$mit seinem Mittelpunkt auf der reellen Achse.

So finden Sie die Geodäten, die Sie brauchen!

Nur eine Anmerkung, die Karte$z\mapsto -\overline{z}$ist auch eine Isometrie des Modells der oberen Halbebene, daher die obige Aussage über die Gruppe der Isometrien von$\mathbb{H}^2$Sein$PSL_2(\mathbb{R})$ist nicht ganz richtig - dies sind genau die orientierungserhaltenden Isometrien (sie sind tatsächlich die einzigen konformen / holomorphen). Man muss sich die größere Gruppe anschauen$PSL^+_2(\mathbb{R})$die auch Isometrien der Form enthält$\frac{a\overline{z}+b}{c\overline{z}+d}$wo$a,b,c,d\in\mathbb{R}$und$ad-bc=-1$; deutlich$PSL_2(\mathbb{R})$ist eine Index-zwei-Untergruppe von$Isom(\mathbb{H}^2)=PSL^+_2(\mathbb{R})$.