Wie wird der sphärische Koordinatenmetriktensor hergeleitet? [geschlossen]

Question

Wie wird der sphärische Koordinatenmetriktensor hergeleitet? [geschlossen]

Brian Ko

Ich kenne die Werte des metrischen Tensors

η = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & R^{2} & 0 \\ 0 & 0 & R^{2} {Sünde}^{2} (θ) \end{matrix}],

$\eta =\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&r^{2}&0\\ 0&0&r^{2}\sin^{2}\left ( \theta \right ) \end{bmatrix},$ aber wie wird das hergeleitet? Ist auch die „(nicht)euklidische“ Beschaffenheit der Raumzeitgeometrie für diesen metrischen Tensorwert von Bedeutung?

QMechaniker

Wäre Mathematik ein besseres Zuhause für diese Frage?

Rumpelstillhaut

Mir ist aufgefallen, dass die Antworten unten davon ausgehen, dass Sie wissen, wie man die Koordinatentransformation von kartesischen Koordinaten in sphärische Koordinaten durchführt.

Peterh

Sie können für die Migration in die Mathematik stimmen.

Brian Ko

Ich fand es passender für die Physik, da es mehr Relevanz für die Physik hat. Die mathematische Herleitung steht im Kontext der Physik.

Antworten (2)

Wie wird der sphärische Koordinatenmetriktensor hergeleitet? [geschlossen]

Mir ist aufgefallen, dass die Antworten unten davon ausgehen, dass Sie wissen, wie man die Koordinatentransformation von kartesischen Koordinaten in sphärische Koordinaten durchführt.
Ich fand es passender für die Physik, da es mehr Relevanz für die Physik hat. Die mathematische Herleitung steht im Kontext der Physik.

RenatoRenatoRenato · Answer 1

Das ist einfach die Metrik eines euklidischen Raums, nicht der Raumzeit, ausgedrückt in sphärischen Koordinaten. Es kann der räumliche Teil der Metrik in der Relativitätstheorie sein.

Wir haben diese Koordinatentransformation:

X^{' 1} = X = R Sünde θ \cos ϕ = X^{1} Sünde (X^{2}) \cos (X^{3})

$x'^1= x= r\, \sin\theta \,\cos\phi =x^1 \sin(x^2)\cos(x^3)$

X^{' 2} = j = R Sünde θ Sünde ϕ = X^{1} Sünde (X^{2}) Sünde (X^{3})

$x'^2= y= r\, \sin\theta \,\sin\phi =x^1 \sin(x^2)\sin(x^3)$

X^{' 3} = z = R \cos θ = X^{1} \cos (X^{2})

$x'^3= z= r\, \cos\theta = x^1\ \cos(x^2)$

Mit $\, x^1=r, \quad x^2=\theta, \quad x^3=\phi \quad$ Und $\quad x'^1=x, \quad x'^2=y, \quad x'^3=z$

Jetzt fängst du an

η_{ich J} = \frac{\partial X^{' 1}}{\partial X^{ich}} \frac{\partial X^{' 1}}{\partial X^{J}} + \frac{\partial X^{' 2}}{\partial X^{ich}} \frac{\partial X^{' 2}}{\partial X^{J}} + \frac{\partial X^{' 3}}{\partial X^{ich}} \frac{\partial X^{' 3}}{\partial X^{J}}

$\eta_{ij} = \frac{\partial {x'^1}}{\partial {x^i}} \frac{\partial {x'^1}}{\partial {x^j}} +\frac{\partial {x'^2}}{\partial {x^i}}\frac{\partial x'^2}{\partial x^j} + \frac{\partial {x'^3}}{\partial {x^i}}\frac{\partial x'^3}{\partial x^j}$

Und wenn Sie dies für jede Komponente tun, erhalten Sie das gewünschte Ergebnis. Ich werde den Fall für veranschaulichen $\eta_{22}$

η_{22} = \frac{\partial X^{' 1}}{\partial X^{2}} \frac{\partial X^{' 1}}{\partial X^{2}} + \frac{\partial X^{' 2}}{\partial X^{2}} \frac{\partial X^{' 2}}{\partial X^{2}} + \frac{\partial X^{' 3}}{\partial X^{2}} \frac{\partial X^{' 3}}{\partial X^{2}} = \frac{\partial X}{\partial θ} \frac{\partial X}{\partial θ} + \frac{\partial j}{\partial θ} \frac{\partial j}{\partial θ} + \frac{\partial z}{\partial θ} \frac{\partial z}{\partial θ} = R^{2} \cos^{2} θ \cos^{2} ϕ + R^{2} \cos^{2} θ {Sünde}^{2} ϕ + R^{2} {Sünde}^{2} θ = R^{2}

$\eta_{22}= \frac{\partial {x'^1}}{\partial {x^2}} \frac{\partial {x'^1}}{\partial {x^2}} +\frac{\partial {x'^2}}{\partial {x^2}}\frac{\partial x'^2}{\partial x^2} + \frac{\partial {x'^3}}{\partial {x^2}}\frac{\partial x'^3}{\partial x^2} = \\ \frac{\partial {x}}{\partial {\theta}} \frac{\partial {x}}{\partial {\theta}} +\frac{\partial {y}}{\partial {\theta}}\frac{\partial y}{\partial \theta} + \frac{\partial {z}}{\partial {\theta}}\frac{\partial z}{\partial \theta} = \\ r^2 \cos^2\theta \, \cos^2\phi + r^2 \cos^2\theta \sin^2\phi + r^2 \sin^2\theta = r^2$

Wo von der bekannten Beziehung Gebrauch gemacht wurde $\quad$ $\sin^2 \alpha +\cos^2\alpha=1$

Ich habe gerade einen Tippfehler in der letzten Zeile korrigiert. Ich habe den ersten Satz nicht gelöscht.
@Lucas Ich weiß, danke. Es ist wahrscheinlich passiert, weil Sie Ihre Bearbeitung ein paar Sekunden nach meiner eingereicht haben, also haben Sie den Beitrag so bearbeitet, wie er war, bevor ich diese erste Zeile eingefügt habe. Also habe ich ihn erneut bearbeitet, um die erste Zeile einzufügen.

ZeroTheHero · Answer 2

In sphärisch kann man zeigen, dass das Linienelement

D S^{2} = D X^{2} + D j^{2} + D z^{2} = D R^{2} + R^{2} D θ^{2} + R^{2} {Sünde}^{2} θ D ϕ^{2} = G_{ich J} D ξ_{ich} D ξ_{J}

$ds^2=dx^2+dy^2+dz^2= dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta\,d\phi^2= g_{ij}d\xi_id\xi_j$ mit

(ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}) = (x, y, z)

$(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=(x,y,z)$ oder

(r, θ, ϕ)

$(r,\theta,\phi)$ , und das Übliche

\begin{aligned} z & = R \cos θ, X = R Sünde θ \cos ϕ, j = R Sünde θ Sünde ϕ, \\ D z & = \cos θ D R - R Sünde θ D θ usw. \end{aligned}

$\begin{align} z&=r\cos\theta\, ,\qquad\qquad\qquad x=r\sin\theta\cos\phi\, ,\quad y=r\sin\theta\sin\phi\, ,\\ dz&=\cos\theta\,dr-r\sin\theta d\theta\qquad\hbox{etc.} \end{align}$ Aus

d s^{2}

$ds^2$ man kann die Einträge einfach als Koeffizienten von ablesen

d r^{2}

$dr^2$ ,

d θ^{2}

$d\theta^2$ Und

d ϕ^{2}

$d\phi^2$ .

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Brian Ko

QMechaniker

Rumpelstillhaut

Peterh

Brian Ko

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RenatoRenatoRenato

Lukas

RenatoRenatoRenato

ZeroTheHero

Finden der Divergenz in Kugelkoordinaten mit dem metrischen Tensor

Zeigen Sie, dass zwei Kurvenscharen orthogonal sind (ohne orthogonale Trajektorien zu verwenden)

Koordinatentransformation mit ds2=y2dx2+x2dy2ds2=y2dx2+x2dy2ds^2 = y^2 dx^2 + x^2 dy^2

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