Koordinatentransformation mit ds2=y2dx2+x2dy2ds2=y2dx2+x2dy2ds^2 = y^2 dx^2 + x^2 dy^2

Question

Koordinatentransformation mit ds2=y2dx2+x2dy2ds2=y2dx2+x2dy2ds^2 = y^2 dx^2 + x^2 dy^2

Rafa Budria

In Wolfgang Rindlers Buch "Essential Relativity" gibt es eine ungelöste Aufgabe über Koordinatenänderungen in zwei Dimensionen (S. 140-141) . Der Autor schlägt als Beispiel vier infinitesimale Entfernungen vor, von denen drei die flache Ebene (in einem Koordinatensystem) und eine weitere einen zweidimensionalen Raum mit Krümmung berücksichtigen. Zwei für die flache Ebene erhalten ihre Koordinatentransformation im Buch, aber nicht die dritte. Weiter schreibt Rindler: "Der Leser wird nicht so schnell erraten (und sollte es auch nicht versuchen), wie die dritte entsteht, obwohl sie auch aus der Transformation des Cartesischen resultiert". Folgendes Problem habe ich erfolglos versucht zu lösen:

Finden Sie die Koordinatentransformation von Cartesian (where $ds^2 = d\bar{x}^2 + d\bar{y}^2$ ), was den folgenden infinitesimalen Abstand bringt:

D S^{2} = j^{2} D X^{2} + X^{2} D j^{2}

$ds^2 = y^2 dx^2 + x^2 dy^2$

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Koordinatentransformation mit ds2=y2dx2+x2dy2ds2=y2dx2+x2dy2ds^2 = y^2 dx^2 + x^2 dy^2

Wein Eld · Answer 1

Lassen Sie uns bezeichnen

X = X (X^{'}, j^{'}), j = j (X^{'}, j^{'}),

$x=x(x',y'),\\ y=y(x',y'),$ Dann

D X = \frac{\partial X}{\partial X^{'}} D X^{'} + \frac{\partial X}{\partial j^{'}} D j^{'}, D j = \frac{\partial j}{\partial X^{'}} D X^{'} + \frac{\partial j}{\partial j^{'}} D j^{'} .

$dx=\frac{\partial x}{\partial x'}dx'+\frac{\partial x}{\partial y'}dy',\\ dy=\frac{\partial y}{\partial x'}dx'+\frac{\partial y}{\partial y'}dy'.$ Jetzt

d x^{2} + d y^{2} = y^{' 2} d x^{' 2} + x^{' 2} d y^{' 2}

$dx^2+dy^2=y'^2dx'^2+x'^2dy'^2$ impliziert

{(\frac{\partial X}{\partial X^{'}})}^{2} + {(\frac{\partial j}{\partial X^{'}})}^{2} = j^{' 2}, {(\frac{\partial X}{\partial j^{'}})}^{2} + {(\frac{\partial j}{\partial j^{'}})}^{2} = X^{' 2}, (\frac{\partial X}{\partial X^{'}}) (\frac{\partial X}{\partial j^{'}}) = - (\frac{\partial j}{\partial X^{'}}) (\frac{\partial j}{\partial j^{'}}) .

$\left(\frac{\partial x}{\partial x'}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial x'}\right)^2=y'^2,\\ \left(\frac{\partial x}{\partial y'}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial y'}\right)^2=x'^2,\\ \left(\frac{\partial x}{\partial x'}\right)\left(\frac{\partial x}{\partial y'}\right)=-\left(\frac{\partial y}{\partial x'}\right)\left(\frac{\partial y}{\partial y'}\right).$ Jetzt können wir es versuchen

(\frac{\partial x}{\partial x^{'}}) = (\frac{\partial y}{\partial x^{'}})

$\left(\frac{\partial x}{\partial x'}\right)=\left(\frac{\partial y}{\partial x'}\right)$ (ein anderer kann entsprechend behoben werden), was sich als nicht funktioniert herausstellt. Dann können wir es versuchen

(\frac{\partial x}{\partial x^{'}}) = (\frac{\partial y}{\partial y^{'}})

$\left(\frac{\partial x}{\partial x'}\right)=\left(\frac{\partial y}{\partial y'}\right)$ , erhalten wir schließlich die folgende Transformation:

X = \frac{\sqrt{2}}{2} X^{'} j^{'}; j = \frac{\sqrt{2}}{4} j^{' 2} - \frac{\sqrt{2}}{4} X^{' 2} .

$x=\frac{\sqrt{2}}{2}x'y';\\ y=\frac{\sqrt{2}}{4}y'^2-\frac{\sqrt{2}}{4}x'^2.$ Jetzt können wir das überprüfen

D X^{2} + D j^{2} = j^{' 2} D X^{' 2} + X^{' 2} D j^{' 2} .

$dx^2+dy^2=y'^2dx'^2+x'^2dy'^2.$

Vielen Dank. Gibt es, sagen wir, Heuristiken, um sich der Lösung zu nähern? Ich habe versucht, mehrere zu vergleichen, um Hinweise zu bekommen, und nichts bekommen.
@RafaBudria， Ich werde meine Antwort gleich aktualisieren.
Sie sind Parabelkoordinaten und die Skalierungsfaktoren sind beide gleich $C\sqrt (x'^2 + y'^2)$

Rafa Budria · Answer 2

Die Frage wurde im Stackexchange-Mathematikforum hier beantwortet , dank der Zusammenarbeit von drei freundlichen Benutzern. Die Details darüber, wie die Lösung gegeben wurde, sind sehenswert.

Dies ist die Transformation von den Koordinaten mit diesem Linienelement in kartesisch:

{\begin{cases} \bar{X} = \frac{1}{2} X j \cos (\ln (j / X)) - \frac{1}{2} X j Sünde (\ln (j / X)) \\ \bar{j} = \frac{1}{2} X j Sünde (\ln (j / X)) + \frac{1}{2} X j \cos (\ln (j / X)) \end{cases}

$\begin{cases} \bar x=\frac{1}{2}xy\cos(\ln(y/x))-\frac{1}{2}xy\sin(\ln(y/x)) \\ \bar y=\frac{1}{2}xy\sin(\ln(y/x))+\frac{1}{2}xy\cos(\ln(y/x)) \\ \end{cases}$

Koordinatentransformation mit ds2=y2dx2+x2dy2ds2=y2dx2+x2dy2ds^2 = y^2 dx^2 + x^2 dy^2

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