Christoffel-Symbol für parabolische Koordinaten

Question

Christoffel-Symbol für parabolische Koordinaten

Benutzer2555272

Ich frage mich, warum ich das ganze Christoffel-Symbol für die parabolischen Koordinaten bekomme

P (X, j) = X Q (X, j) = j - X^{2} / 2

$p(x, y) =x \qquad q(x, y) = y - x^2/2$ NULL ? Die Metrik für diese Koordinate ist

G^{a β} = (\begin{array}{cc} 1 & - P \\ - P & 1 + P^{2} \end{array})

$g^{\alpha\beta} = \left( \begin{array}{cc} 1 & -p \\ -p & 1 + p^2 \end{array} \right)$ oder

G_{a β} = (\begin{array}{cc} 1 + P^{2} & P \\ P & 1 \end{array}) .

$g_{\alpha\beta} = \left( \begin{array}{cc} 1 + p^2 & p \\ p & 1 \end{array} \right).$

Benutzer2555272

Warum sollte jemand ohne Angabe von Gründen ablehnen?

QMechaniker

Wäre Mathematik ein besseres Zuhause für diese Frage?

Benutzer2555272

Nun, ich bin sicher, dass die Verbindungen null sind. Ich suche nur nach einer guten Antwort, um physikalisch zu erklären, warum?

Benutzer2555272

Ich habe einen Fehler gemacht, es gibt eine Verbindung, die nicht Null ist

Γ_{p p}^{q}

$\Gamma^q_{pp}$ . Ich denke, der Thread ist nicht völlig nutzlos, da wir ein Beispiel haben, bei dem nur eine Verbindung die Koordinatenkrümmung codiert.

Antworten (1)

Christoffel-Symbol für parabolische Koordinaten

Nun, ich bin sicher, dass die Verbindungen null sind. Ich suche nur nach einer guten Antwort, um physikalisch zu erklären, warum?
Ich habe einen Fehler gemacht, es gibt eine Verbindung, die nicht Null ist $\Gamma^q_{pp}$ . Ich denke, der Thread ist nicht völlig nutzlos, da wir ein Beispiel haben, bei dem nur eine Verbindung die Koordinatenkrümmung codiert.

Daniel · Answer 1

Während das OP einen Fehler in der Berechnung gemacht hat und nicht alle $\Gamma^\mu_{\alpha\beta}$ Null sind, kann man fragen, was die Bedingungen für die Metrik für alle sind $\Gamma^\mu_{\alpha\beta}$ null sein.

Um diese Frage zu beantworten, muss man zunächst sehen, bis zu welcher Äquivalenzklasse die Verbindung die Metrik bestimmt. Nun, wenn die Verbindung $\Gamma^\mu_{\alpha\beta}$ ist mit der Metrik kompatibel $g_{\mu\nu}$ , dann muss per Definition folgende Differentialgleichung gelten:

\nabla_{ρ} G_{μ v} = 0

$\begin{equation} \nabla_\rho g_{\mu\nu}=0 \end{equation}$

Dies ist die Differentialgleichung erster Ordnung, also hat sie eine Integrationskonstante - wenn Sie die Metrik in einem Punkt kennen, dann bestimmt die Verbindung sie eindeutig.

Nun zum Fall $\Gamma^\mu_{\alpha\beta}=0$ , reduziert sich die obige Gleichung auf

\partial_{ρ} G_{μ v} = 0.

$\begin{equation} \partial_\rho g_{\mu\nu}=0. \end{equation}$

Die Schlussfolgerung lautet: Der Zusammenhang verschwindet genau dann, wenn der metrische Tensor konstant ist.

Wenn Sie also Ihren Christoffels-Wert für eine nicht konstante Metrik gleich Null erhalten, ist es leicht zu erkennen, dass Sie bei Ihrer Berechnung einen Fehler gemacht haben.

Die Schlussfolgerung hier ist richtig, aber seien Sie vorsichtig, wenn Sie über Integrationskonstanten (und deren Anzahl) sprechen, wenn Sie sich mit partiellen Differentialgleichungen befassen.

Christoffel-Symbol für parabolische Koordinaten

Benutzer2555272

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QMechaniker

Benutzer2555272

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Antworten (1)

Daniel

gj255

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