Determinante des metrischen Tensors

Question

Determinante des metrischen Tensors

Jo

Nach einem Wechsel des Koordinatensystems auf ebenen Raum ab $x\rightarrow y$ , haben wir den metrischen Tensor:

G_{μ v} = \frac{\partial j^{a}}{\partial X^{μ}} \frac{\partial j^{β}}{\partial X^{v}} η_{a β} .

$g_{\mu \nu} = \frac{\partial y^{\alpha}}{\partial x^{\mu}} \frac{\partial y^{\beta}}{\partial x^{\nu}}\eta_{\alpha \beta}.$

Jetzt nach der Erweiterung

j^{a} = X^{a} + ϵ ξ^{a},

$y^{\alpha}= x^{\alpha}+\epsilon \xi^{\alpha},$ Ich brauche die Determinante

g

$g$ in Bezug auf die neue Variable

ξ

$\xi$ . Gibt es dafür eine Standardmethode?

Slereah

Die Determinante ist eine Invariante unter Koordinatenänderung

Mike

@Slereah Was?! Wie wäre es zum Beispiel, kartesische in sphärische Koordinaten umzuwandeln? Ich denke, Sie denken an orthogonale Transformationen.

Mike

@Joe Weißt du, wie man den Jacobi berechnet ? Und weißt du, wie man die Determinante des Produkts zweier Matrizen berechnet? Hast du irgendetwas versucht?

Jo

@ Mike ... Ja, das tue ich. Die Determinante des Produkts ist einfach das Produkt der det der beiden Matrizen.

Avantgarde

@Mike Ich denke, Slereah wollte sagen

\sqrt{- g} d^{4} x

$\sqrt{-g} d^4 x$ ist unter Koordinatentransformationen invariant.

g

$g$ verwandelt sich.

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Determinante des metrischen Tensors

Die Determinante ist eine Invariante unter Koordinatenänderung
@Slereah Was?! Wie wäre es zum Beispiel, kartesische in sphärische Koordinaten umzuwandeln? Ich denke, Sie denken an orthogonale Transformationen.
@Joe Weißt du, wie man den Jacobi berechnet ? Und weißt du, wie man die Determinante des Produkts zweier Matrizen berechnet? Hast du irgendetwas versucht?
@ Mike ... Ja, das tue ich. Die Determinante des Produkts ist einfach das Produkt der det der beiden Matrizen.
@Mike Ich denke, Slereah wollte sagen $\sqrt{-g} d^4 x$ ist unter Koordinatentransformationen invariant. $g$ verwandelt sich.

Avantgarde · Answer 1

Nimmt man die Determinante auf beiden Seiten, erhält man:

G = - {| \frac{\partial j (X)^{a}}{\partial X^{β}} |}^{2}

$g = -\left|\frac{\partial y(x)^\alpha}{\partial x^\beta}\right|^2$

Wo $g = \text{det} (g_{\mu \nu})$ Und $\text{det} (\eta_{\mu \nu}) = -1$ . Auf der rechten Seite steht der Jacobi (Quadrat) der Koordinatentransformation. Kannst du es von hier nehmen?

@Avantgarde.Der Jacobi muss mit partieller Ableitung kommen, oder? Danke.. Ich habe zuvor auch den gleichen Punkt erreicht.
@Joe Ja, danke! Ich wusste, dass etwas nicht stimmte, als ich es zum ersten Mal aufschrieb, haha.

Mathphys.-Meister · Answer 2

Lassen $\chi$ sei die aus Elementen der Form bestehende Koordinatentransformationsmatrix

χ = {\frac{\partial j^{a}}{\partial X^{β}}} .

$\chi = \Big\{\frac{\partial y^\alpha}{\partial x^\beta}\Big\}.$ Die Umkehrung dieser Matrix

χ^{- 1}

$\chi^{-1}$ besteht aus Elementen der Form:

χ^{- 1} = {\frac{\partial X^{β}}{\partial j^{a}}} .

$\chi^{-1} = \Big\{\frac{\partial x^\beta}{\partial y^\alpha}\Big\}.$

Daher finden wir, dass die Metrik $g$ (also bspw $\eta=diag(-1,1,1,1)$ ) kann als Rangtensor transformiert werden. $(0,2):$

G^{'} = (χ^{- 1})^{T} G χ^{- 1} .

$g^\prime = (\chi^{-1})^T g \ \chi^{-1}.$

Mit der Determinante finden wir:

det (G^{'}) = det ((χ^{- 1})^{T} G χ^{- 1}) = det (G) det ((χ^{- 1})^{T}) det (χ^{- 1}) \neq det (G) .

$\det(g^\prime) = \det((\chi^{-1})^T g \ \chi^{-1}) = \det(g) \det((\chi^{-1})^T)\det(\chi^{-1}) \neq \det(g).$

Die Determinante ist invariant gdw $\det((\chi^{-1})^T)\ = 1/\det(\chi^{-1})$ .

Im Allgemeinen einfach diese Matrixmultiplikation ausarbeiten und bestimmen $\det(g^\prime).$

Wir erhalten also Folgendes:

det (G^{'}) = - det (χ^{- 1})^{2}

$\det(g^\prime) = - \det(\chi^{-1})^2$

Wo $\det(\chi^{-1})$ ist ja der Jacobi da $\det((\chi^{-1})^T)=\det(\chi^{-1})$ Und $\det(g)=\det(\eta)=-1$ da Sie nach der Umwandlung von flachen in nicht flache Koordinaten gefragt haben.

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Jo

Slereah

Mike

Mike

Jo

Avantgarde

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Avantgarde

Jo

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Mathphys.-Meister

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