Verwirrung Einstein-Notation Polarkoordinaten

Die Metrik

$$ds^2=dr^2+r^2d\theta^2$$

ist singulär und daher nicht angemessen. Betrachten wir das stattdessen im Minkowski-Raum

$$ds^2=-dt^2+dr^2+r^2d\theta^2 ,$$

was sich nicht auf das Problem auswirkt, auf das Sie stoßen.

Für die obige Metrik hat man$g_{\mu\nu}=(-1,1,r^2)$, was seine Umkehrung impliziert$g^{\mu\nu}=(-1,1,1/r^2)$.

Nun, für die Kontraktion bemerken wir das

$$A^\mu B_\mu=g^{\mu\nu}A_\mu B_\nu=g_{\mu\nu}A^\mu B^\nu .$$

Betrachten Sie den Fall,

$$A^\mu =(0,0,f(r)) ,$$ $$B_\nu=(\partial_t\phi,\partial_r\phi,\partial_\theta \phi) ,$$

Wo

$$\partial_\mu \phi\equiv \frac{\partial\phi}{\partial x^\mu}$$ mit$x^\mu=(t,r,\theta)$.

Indem man alle Teile zusammenfügt, findet man

$$A^\mu B_\mu=g^{\mu\nu}A_\mu B_\nu=g_{\mu\nu}A^\mu B^\nu=f(r)\partial_\theta\phi .$$

Der entscheidende Punkt ist, dass die Menge$\nabla\phi$Sie schrieben oben, ist etwas anderes. Es ist weder eine Konvariante noch ein kontravarianter Tensor, genauer gesagt, daran ist nichts falsch$\nabla\phi$ein Vektor ist, der sowohl koordinatenunabhängig als auch basisunabhängig ist, aber seine Komponenten in der oben angegebenen Form, nämlich

$$\nabla \phi=\hat{r}\frac{\partial\phi}{\partial r}+\hat{\theta}\frac{1}{r}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\to \nabla\phi\stackrel{?}{=}(\partial_r\phi,\frac{1}{r}\partial_\theta\phi),$$ sind nicht die eines kovarianten oder kontravarianten Tensors. Die anschließend durchgeführte "Kontraktion" in Bezug auf diese Komponenten des Tensors ist daher nicht sinnvoll.

Dies liegt daran, dass seine Basen gemäß der Konvention, in der er eingeführt wird (in der Analysis), Einheitsvektoren sind. Diese Basisvektoren ($\hat{r},\hat{\theta}$) sind sowohl unitär als auch orthonormal, aber nichtkoordiniert ! Damit alle Tensormanipulationen sinnvoll sind, muss man mit Koordinatenbasen arbeiten, und letztere sind normalerweise keine Einheitsvektoren. Siehe zum Beispiel die Diskussionen von Abschnitt 5.5 nichtkoordinierte Basen des Lehrbuchs A first course in general relativity von Schutz.

Dies ist in der Tat ein verwirrender Punkt, wenn man sich des Unterschieds nicht bewusst ist. Wenn Ihnen die obige Erklärung nicht klar ist, werfen Sie einen Blick auf das oben erwähnte Lehrbuch und vielleicht auf den Anfang von Kapitel 5, wo die kovariante Ableitung auf generische Weise eingeführt wird. Für mich ist das Lehrbuch in Bezug auf diese grundlegenden Konzepte mit einem minimalen Anteil an Mathematik recht gut geschrieben.