Warum ist die invariante Notation nicht üblich?

Question

Warum ist die invariante Notation nicht üblich?

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Im Prinzip kann man Größen zB in der speziellen Relativitätstheorie offensichtlich invariant schreiben statt kovariant. Zum Beispiel, anstatt nur zu schreiben $x^\mu$ , könnten wir die Basis explizit schreiben und verlangen, dass sich die Basis entgegengesetzt zu den Komponenten transformiert,

X = X^{μ} e_{μ}^{(ich)},

$x = x^\mu e_\mu^{(i)},$ so dass

x

$x$ ist unveränderlich. Warum ist eine solche invariante Schreibweise nicht häufiger in zB der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie? Arbeiten Mathematiker auch mit kovarianter Sprache? oder die invariante Sprache?

Liegt es daran, dass die Basis in Kontraktionen verschwindet, wenn die Basis orthonormal ist? z.B

X (j) = X^{μ} e_{μ} j_{v} e^{v} = X^{μ} j_{v} δ_{μ}^{v} = X^{μ} j_{μ}

$x(y) = x^\mu e_\mu y_\nu e^\nu = x^\mu y_\nu \delta^\nu_\mu = x^\mu y_\mu$

Trimok

Es wird in der Differentialgeometrie verwendet. Sie haben zum Beispiel eine

1

$1$ -form

ω = ω_{ν} d x^{ν}

$\omega=\omega_\nu dx^\nu$ , ein Vektor

v = v^{μ} \partial_{μ}

$v = v^\mu \partial_\mu$ , bei dem die

d x^{ν}

$dx^\nu$ Und

\partial_{μ}

$\partial_\mu$ sind jeweils Grundlage

1

$1$ -Form und Vektoren.

ω (v)

$\omega(v)$ ist eine komplexe Größe (

1

$1$ -Form sind duale Mengen von Vektoren), und Sie haben

ω (v) = ω_{ν} v^{μ} d x^{ν} (\partial_{μ}) = ω_{μ} v^{μ}

$\omega(v) = \omega_\nu v^\mu dx^\nu(\partial_\mu)=\omega_\mu v^\mu$ (Weil

d x^{ν} (\partial_{μ}) = δ_{μ}^{ν}

$dx^\nu(\partial_\mu) = \delta^\nu_\mu$ )

Antworten (2)

Warum ist die invariante Notation nicht üblich?

Es wird in der Differentialgeometrie verwendet. Sie haben zum Beispiel eine $1$ -form $\omega=\omega_\nu dx^\nu$ , ein Vektor $v = v^\mu \partial_\mu$ , bei dem die $dx^\nu$ Und $\partial_\mu$ sind jeweils Grundlage $1$ -Form und Vektoren. $\omega(v)$ ist eine komplexe Größe ( $1$ -Form sind duale Mengen von Vektoren), und Sie haben $\omega(v) = \omega_\nu v^\mu dx^\nu(\partial_\mu)=\omega_\mu v^\mu$ (Weil $dx^\nu(\partial_\mu) = \delta^\nu_\mu$ )

Brian Motten · Answer 1

Ein Physiker würde Ihre erste Gleichung schreiben $x^a = x^\mu e_\mu^a$ . Die Notation $x^a$ ist in Ihrer Terminologie unveränderlich. Der $a$ ist ein abstrakter Index. Es soll angeblich nicht als eine Reihe von numerischen Werten angesehen werden, sondern ist nur ein Marker, der dies anzeigt $x$ ist ein Vektor (dh Rang 1,0 Tensor.) Ähnlich für jeden $\mu$ , $e^a_\mu$ ist ein Vektor. Sie können mehr über die abstrakte Indexnotation auf Wikipedia lesen .

Wald ist eine schöne Referenz mit dieser Notation. Ich glaube, es hängt von der Art des Problems ab: 1. Theoretische, abstraktere Probleme erfordern die Manipulation von Invarianten und die Einführung von Koordinaten führt oft zu Verwirrung, 2. Messungen hingegen erfordern die Einführung eines Koordinatensystems, was oft der Fall ist erfolgt als letzter Schritt nach der Aufstellung der Theorie.
@auxsvr Physiker wollen sich an Experimente anschließen? Wählen Sie also die invariante Notation?
@innisfree Die physikalische Theorie wird in Bezug auf Invarianten entwickelt und die Experimente erfordern Messungen, daher die Einführung von Koordinatensystemen. Ich bin mir nicht sicher, was Ihre Fragen sind.

QMechaniker · Answer 2

Kommentare zur Frage (v5):

In der Allgemeinen Relativitätstheorie (GR) die Notation $x^{\mu}$ , $\mu=0,1,2,3,$ bezeichnet normalerweise einige (lokale) Koordinaten einer (Raumzeit-) Mannigfaltigkeit $M$ . Beachten Sie, dass $x^{\mu}$ transformiert sich im Allgemeinen nicht als a $(1,0)$ (kontravarianter) Tensor in dem Sinne, dass
$X^{' v} = \frac{\partial X^{' v}}{\partial X^{μ}} X^{μ} (\leftarrow Generell falsch!)$ $x^{\prime \nu}~=~\frac{\partial x^{\prime \nu}}{\partial x^{\mu}} x^{\mu} \qquad (\leftarrow\text{Wrong in general!} )$ unter Koordinatentransformationen $x^{\prime \nu}=f^{\nu}(x)$ . Daher gibt es in GR kein nützliches physikalisches Konzept einer Vektorbasis für die zugrunde liegenden lokalen Raumzeitkoordinaten. [In der Speziellen Relativitätstheorie (SR) sind die Koordinatentransformationen auf affine Transformationen beschränkt $x^{\prime \nu}=\Lambda^{\nu}{}_{\mu} x^{\mu}+ a^{\nu}$ in einem affinen Raum.]
Andererseits, wenn die Notation $x^{\mu}$ soll a bezeichnen $(1,0)$ (kontravarianter) Tensor [statt lokaler Raumzeitkoordinaten], dann darf man natürlich gerne eine entsprechende duale Basis einführen $e_{\mu}$ die sich in umgekehrter Weise umwandeln, um zu behalten $x=x^{\mu}e_{\mu}$ unveränderlich. Im Allgemeinen ist es wahrscheinlich eine vergebliche Übung, darüber zu diskutieren, welche Notation die beste ist. $^1$

--

$^1$ Schauen Sie sich jedoch zB diese Phys.SE-Antwort an.

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Brian Motten

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