Frage zum Pseudotensor mit vollständig antisymmetrischer Einheit

Zu Teilfrage 2:

$$J~=~\det J^{i}{}_{j}$$ ist die Determinante der Jacobi-Matrix mit Einträgen $$J^{i}{}_{j}~=~\frac{\partial x^i}{\partial x^{\prime j}}.$$ ( $J$wird auch als Jacobi-Determinante bezeichnet , vgl. gelöschte Antwort von Michael Seifert.) Eine bessere Notation für die letzte Formel von OP wäre also

$$J~=~\det\frac{\partial (x^0,x^1,x^2,x^3)}{\partial (x^{'0},x^{'1},x^{'2},x^{'3})}.$$

Teilfrage 1 folgt aus Eigenschaften der Determinante und der Kettenregel.

$$E^{iklm}=\frac{\partial x^i}{\partial x^{'p}}\frac{\partial x^k}{\partial x^{'r}}\frac{\partial x^l}{\partial x^{'s}}\frac{\partial x^m}{\partial x^{'t}}e^{prst}\;, \\ =\delta_{[a}^i \delta_b^k \delta_c^l \delta_{d]}^m \frac{\partial x^a}{\partial x^{'p}}\frac{\partial x^b}{\partial x^{'r}}\frac{\partial x^c}{\partial x^{'s}}\frac{\partial x^d}{\partial x^{'t}}e^{prst} \;,\\ =\frac 1 {4!} e^{iklm} e_{abcd}\frac{\partial x^a}{\partial x^{'p}}\frac{\partial x^b}{\partial x^{'r}}\frac{\partial x^c}{\partial x^{'s}}\frac{\partial x^d}{\partial x^{'t}}e^{prst} \;,\\ =\Big(\frac 1 {4!}e_{abcd}e^{prst}\frac{\partial x^a}{\partial x^{'p}}\frac{\partial x^b}{\partial x^{'r}}\frac{\partial x^c}{\partial x^{'s}}\frac{\partial x^d}{\partial x^{'t}}\Big)e^{iklm}\;,\\ =J\;e^{iklm}$$