Spinornotation in der allgemeinen Relativitätstheorie

Question

Spinornotation in der allgemeinen Relativitätstheorie

Benutzer46446

Ich habe eine etwas weit gefasste/große Frage, und ich weiß , dass es viele Referenzen dafür gibt. Allerdings konnte ich bisher nichts finden, was ich wirklich verstehen kann, deshalb hier mein letzter Ausweg.

Die Frage betrifft die Spinor-Notation und ihre Verwendung in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Als ich ein Papier von Penrose las, sah ich die folgende Aussage (nicht wörtlich):

Definieren $\kappa_{AB}=\psi^{-1/3}o_{(A}i_{B)}$ , wo der konforme Weyl-Spinor ist $\Psi_{ABCD}=\psi o_{(A}o_{B}i_{c}i_{D)}$ . Dann $H_{ab}=ik_{AB}\epsilon_{A'B'}-i\epsilon_{AB}\overline{\kappa}_{A'B'}$ ist ein Schrägtensor. <…>

Nun, ich verstehe die obigen Objekte überhaupt nicht. Nach dem, was ich gelesen habe (Buch "Introduction to 2-Spinors in General Relativity" von O'Donnel), können wir uns vorstellen $o$ Und $i$ als Vektoren $o=(1,0)$ Und $i=(0,1)$ (Ist das richtig?) Dann wird argumentiert, dass die Spinor-Indizes (hier ABCD A' B') eine reine Notation sind und nichts bedeuten. Nun, hier habe ich aufgehört zu verstehen, mit was für Objekten ich arbeite. Wenn es nur um Symbolik geht, wie kann ich damit eigentlich arbeiten /etwas berechnen ?

Im obigen Beispiel, da er auf der linken Seite "normale Notation" verwendet $H_{ab}$ Ich verstehe, dass wir einen Tensor des Ranges 2 haben. Wenn ich auf die rechte Seite schaue, verstehe ich nichts. Was ich weiß, ist das $\epsilon$ ist wie ein Äquivalent zur Metrik in der Spinor-Notation, in dem Sinne, dass wir damit zum Beispiel Indizes erhöhen und verringern können. Da aber alles nur ein "Symbol" sein soll, verstehe ich das Objekt auf der rechten Seite nicht.

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Spinornotation in der allgemeinen Relativitätstheorie

Quantengitter · Answer 1

Bevor Sie fortfahren, würde ich Ihnen empfehlen, Kapitel 13 ("Spinoren") von R.Walds Buch "Allgemeine Relativitätstheorie" zu lesen. In diesem Kapitel werden Sie sehen, dass 2-Spinoren einfach Vektoren sind, die in einem zweidimensionalen komplexen Vektorraum leben. Die Großbuchstaben in den Indizes sind einfach die abstrakte Indexnotation für diese Vektoren (siehe Abschnitt 2.4 in Kapitel 2 desselben Buches).

Sie werden auch sehen, dass die echten Spinorial-Tensoren , dh die Spinorial-Tensoren vom Typ (1,0;1,0) so dass $\overline{\varphi}^{A'A}=\varphi^{AA'}$ , bilden einen reellen vierdimensionalen Vektorraum, $V$ . Auch die Einnahme $\epsilon_{AB}$ , können Sie den folgenden Spinorialtensor aufbauen:

G_{A A^{'} B B^{'}} = ϵ_{A B} \bar{ϵ_{A^{'} B^{'}}}

$g_{AA'BB'}=\epsilon_{AB}\overline{\epsilon_{A'B'}}$ wodurch Sie eine multilineare Karte des Formulars erhalten

V \times V ⟶ R

$V\times V\longrightarrow\mathbb{R}$ . Es kann verifiziert werden, dass diese multilineare Abbildung eine Lorentz-Metrik an definiert

V

$V$ . Dieser Vektorraum

V

$V$ können mit den üblichen Tangentenräumen identifiziert werden

T M_{p}

$TM_{p}$ der flachen Raumzeit (durch Identifikation zwischen orthonormalen Basen von

V

$V$ Und

T M_{p}

$TM_{p}$ ), und deshalb ist es üblich, die Notationsidentifikation vorzunehmen

a ≅ A A^{'}

$a\cong AA'$ , Wo

a

$a$ ist die abstrakte Indexnotation für einen Tangentenvektor. Für die Minkowski-Metrik der Raumzeit gilt:

η_{a b}

$\eta_{ab}$ , erhalten wir natürlich:

η_{A B} ≅ G_{A A^{'} B B^{'}} = ϵ_{A B} \bar{ϵ_{A^{'} B^{'}}}

$\eta_{ab}\cong g_{AA'BB'}=\epsilon_{AB}\overline{\epsilon_{A'B'}}$

Es war Penrose, der diese Notation erfunden hat, und er (sowie die meisten Relativisten heute) verwendet die Notation ausgiebig.

Spinornotation in der allgemeinen Relativitätstheorie

Benutzer46446

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Quantengitter

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