Tensornotation für Ableitung und kovariante Ableitung

Alle Formeln, die Sie oben gezeigt haben, verwenden die abstrakte Indexnotation, mit Ausnahme der dritten Formel, die vollständig ausgedrückt wird, ist eine Basis. Für ein Vektorfeld können Sie beispielsweise schreiben

$$V = V^\mu e_\mu\;,$$ Wo $V^\mu$ist ein Skalar während $e_\mu$ist eine Vektorbasis. Dies ist eine Art Verwirrung, weil wir in abstrakter Indexnotation sehen $V^\mu$als Vektorfeld.

Wenn wir die kovariante Ableitung nehmen, lautet sie

$$\nabla_\mu V=\nabla_\mu (V^\nu e_\nu) = \nabla_\mu (V^\nu) e_\nu + V^\nu \nabla_\mu ( e_\nu)$$ $$\begin{eqnarray} &=& \partial_\mu (V^\nu) e_\nu + V^\nu \Gamma_\mu{}^\lambda{}_\nu e_\lambda\;,\\ &=&\big( \partial_\mu V^\nu +\Gamma_\mu{}^\nu{}_\lambda V^\lambda\big)e_\nu \end{eqnarray}$$ Wenn wir definieren $$\nabla_\mu V =: (\nabla_\mu V^\nu) e_\nu$$ wir werden die Relation in der abstrakten Indexnotation haben $$\nabla_\mu V^\nu = \partial_\mu V^\nu +\Gamma_\mu{}^\nu{}_\lambda V^\lambda\;.$$ (Allgemeiner kann man damit beginnen $\nabla V$und dann definieren $\nabla V =:(\nabla_\mu V^\nu) e^\mu \otimes e_\nu$) Als nächstes die Metrik $g$, es ist (o,2) Tensor, also hat es zwei Slots zum Einfügen von 2 Vektoren, wenn wir die Basis in diese Slots einfügen, erhalten wir eine Komponente des metrischen Tensors, die ein Skalarfeld ist $$g(e_\mu, e_\nu)=g_{\mu\nu}$$

($g= g_{\alpha\beta} e^\alpha \otimes e^\beta,\;g(e_\mu, e_\nu) =g_{\alpha\beta} e^\alpha(e_\mu) \otimes e^\beta(e_\nu) =g_{\alpha\beta}\delta^\alpha_\mu \delta^\beta_\nu= g_{\mu\nu}$)

Es wird normalerweise auch so definiert$\eta(A,B):= A\cdot B$,$\eta$ist eine Minkowski-Metrik$A\cdot B$ist ein Skalar, also Invarianten unter Koordinatentransformationen

$$A\cdot B =\eta(A,B) \equiv \eta_{IJ} A^I B^J$$ $$= g(A,B) \equiv g_{\mu\nu} A^\mu B^\nu$$ Wo $A^I = e^I_\mu A^\mu$für einige Skalare $e^I_\mu$(ein Vierbein), und das kannst du leicht beweisen $g_{\mu\nu} = \eta_{IJ} e^I_\mu e^J_\nu$.

Jetzt haben wir also

$$e_\mu \cdot e_\nu =\eta_{IJ}e^I_\mu e^J_\nu= g_{\mu\nu}$$

In diesem Schritt können wir anzeigen$\eta_{IJ},g_{\mu\nu}$als Skalarfelder$e^I_\mu$als Vektorfeld

$$\begin{eqnarray} \nabla_\gamma g_{\alpha\beta} (= \partial _\gamma g_{\alpha\beta})&=& \nabla_\gamma (e_\alpha\cdot e_\beta) \\ &=&\eta(\nabla_\gamma e_\alpha,e_\beta) +\eta(e_\alpha,\nabla_\gamma e_\beta) \equiv \eta_{IJ}\nabla_\gamma(e^I_\alpha) e^J_\beta + \eta_{IJ}e^I_\alpha \nabla_\gamma(e^J_\beta) \\ &=&\eta(\Gamma_\gamma{}^\rho{}_\alpha e_\rho,e_\beta) +\eta(e_\alpha,\Gamma_\gamma{}^\sigma{}_\beta e_\sigma) \equiv \eta_{IJ}\Gamma_\gamma{}^\rho{}_\alpha e^I_\rho e^J_\beta + \eta_{IJ}e^I_\alpha \Gamma_\gamma{}^\sigma{}_\beta e^J_\sigma \\ &=&\Gamma_\gamma{}^\rho{}_\alpha \eta( e_\rho,e_\beta) + \Gamma_\gamma{}^\sigma{}_\beta\eta(e_\alpha, e_\sigma) \equiv \Gamma_\gamma{}^\rho{}_\alpha \eta_{IJ} e^I_\rho e^J_\beta + \Gamma_\gamma{}^\sigma{}_\beta \eta_{IJ}e^I_\alpha e^J_\sigma \\ &=& \Gamma_\gamma{}^\rho{}_\alpha e_\rho \cdot e_\beta + \Gamma_\gamma{}^\sigma{}_\beta e_\alpha \cdot e_\sigma \equiv \Gamma_\gamma{}^\rho{}_\alpha g_{\rho \beta} + \Gamma_\gamma{}^\sigma{}_\beta g_{\alpha \sigma} \end{eqnarray}$$ Hinweis: Nicht so detailliert wie möglich, aber möglicherweise hilfreich für Sie.

Dies ist möglicherweise nicht die Antwort, nach der Sie suchen, da ich hier keine Intuition gebe, aber aus rechnerischer Sicht ist es nicht so schwer zu erkennen, warum die Ableitung der Metrik Christoffel-Symbole beinhaltet.

Die in der Allgemeinen Relativitätstheorie übliche affine Verbindung ist so gewählt , dass sie sowohl torsionsfrei als auch metrisch kompatibel ist . Die zweite Bedingung bedeutet, dass die kovariante Ableitung der Metrik verschwindet.

$$\nabla_\gamma g_{\alpha\beta} = 0.$$ Diese beiden Bedingungen spezifizieren eindeutig die Verbindung, die Levi-Civita-Verbindung genannt wird . Man kann zeigen, dass die zugehörige kovariante Ableitung eines beliebigen 2-Tensors erfüllt (siehe z. B. Carrolls GR, Abschnitt 3.2): $$\nabla_\gamma T_{\alpha\beta} = \partial_\gamma T_{\alpha\beta} - \Gamma_{\gamma\alpha}^\mu T_{\mu\beta} - \Gamma_{\gamma\beta}^\mu T_{\alpha\mu}$$ Das Einstecken der Metrik, wobei zu beachten ist, dass die linke Seite verschwindet, und das Neuanordnen ergibt das gewünschte Ergebnis.