Manipulation der Tensor-Index-Notation

Soweit ich weiß, sind Tensoren eine Art von Funktionen, die Informationen darüber enthalten, wie ein Satz von Vektoren und dualen Vektoren transformiert wird, die durch eine Matrix dargestellt werden. Was ich jedoch nicht verstehe, ist die unterschiedliche Notation, die verwendet wird, um sie darzustellen. Ich habe zum Beispiel beides gesehen

$g_{\mu \nu} = \begin{pmatrix}-1 && 0 &&0&&0\\0&&1&&0&&0\\0&&0&&1&&0\\0&&0&&0&&1 \end{pmatrix} \tag*{}$

dh der metrische Tensor, bezeichnet mit den Indizes unten, und andere Tensoren, die beispielsweise bezeichnet werden,$T^{\mu \nu}$oder$T^{\mu}{}_{\nu}$. Diese würden verschiedene Typen transformieren, wie in zwei Vektoren ($g_{\mu \nu}$), zwei duale Vektoren oder ein Vektor und ein dualer Vektor. Ich kann nicht verstehen, wie man bei einem gegebenen Tensor die Komponenten neu anordnet, um andere Tensoren zu bilden, sagen wir Take$g_{\mu \nu}$und finde$g^{\mu}{}_{\nu}$,$g^{\mu \nu}$, oder auch$g_{\mu}{}^{\nu}$Zum Beispiel. Wie würde man das machen?