Kronecker-Delta-Verwirrung

Ich bin verwirrt über das Kronecker-Delta. Im Zusammenhang mit der vierdimensionalen Raumzeit habe ich beim Multiplizieren des metrischen Tensors mit seiner Umkehrung gesehen (wobei die Indizes für oben und unten gleich sind):

G μ v G μ v = δ v v = δ 0 0 + δ 1 1 + δ 2 2 + δ 3 3 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4.
Aber ich habe auch gesehen (wo die Indizes für oben und unten unterschiedlich sind):

G μ v G v λ = δ λ μ = ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) .

Wie kann es zwei verschiedene Antworten auf dieselbe Operation geben (was mir so erscheint), nämlich die Multiplikation des metrischen Tensors mit seiner Umkehrung? Entschuldigung, wenn ich das komplett falsch verstanden habe.

Sie sind nicht gleich: Ihr erster hat keine freien Indizes, Ihr zweiter hat zwei μ Und λ
Siehe auch den Einstein-Notationseintrag auf Wikipedia.
Tut mir leid, ich kann es immer noch nicht sehen. Beziehen sich nicht beide Gleichungen auf die Multiplikation einer Metrik mit ihrer Umkehrung? Wenn ja, warum zwei verschiedene Antworten. Bitte machen Sie sich keine Sorgen, Ihre Antworten zu einfach zu machen!
Die zweite Gleichung bezieht sich auf die Multiplikation einer Metrik mit ihrer Inversen. Der erste bezieht sich auf das Multiplizieren einer Metrik mit ihrem Kehrwert und das anschließende Nehmen ihrer Spur.
Oder, um Mikes Kommentar und Jerrys Antwort zu paraphrasieren, wenn Sie die zweite machen, haben Sie sich eine Matrix besorgt. Die erste erhält man einfach, indem man die diagonalen Elemente dieser Matrix addiert. Die "1"en in deiner ersten Gleichung sind die gleichen "1"en, die in der zweiten diagonal angeordnet sind.

Antworten (2)

In Bezug auf Ihre gewöhnliche Matrixmultiplikation haben Sie für den Fall einer 4x4-Matrix M = G A B :

M ⋅ M − 1 = ICH , was dasselbe ist wie G A B G B C = δ A C

Und

T R ( M ⋅ M − 1 ) = 4 , was dasselbe ist wie G A B G A B = δ A A = 4

Es ist nützlich zu wissen, wie die Matrixmultiplikation definiert ist:

Für N × N Matrizen, A Und B , bezeichnen den Eintrag in der ich Reihe und J Spalte von A J ich Und B J ich bzw. Dann für C = A B , die Einträge sind gegeben durch

C J ich = A k ich B J k
(Summierungskonvention natürlich), was Sie anhand einiger Beispiele überprüfen können.

Wenn wir nun eine Matrix haben und sie invers ist, ergibt ihre Multiplikation die Identitätsmatrix oder die Verwendung der obigen Definition:

A k ich ( A − 1 ) J k = δ J ich ,
da die Einträge der Identitätsmatrix durch das Kronecker-Delta-Symbol gegeben sind.

Die Spur einer Matrix A wird einfach durch gegeben T R ( A ) = A ich ich . In dem Fall, wo die Matrix C ist ein Produkt, das die beiden Formeln (für Spur- und Matrixmultiplikation) kombiniert, dessen Spur gegeben wäre durch T R ( C ) = C ich ich = A k ich B ich k , was Sie im ersten Fall tun.

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