Was bedeutet es, die Indizes einer Lorentz-Matrix zusammenzuziehen?

Beachten Sie, dass$\Lambda$ist selbst kein Tensor. Es ist eine Matrix von Transformationskoeffizienten.

Ein Tensor ist in Abwesenheit eines bestimmten Rahmens wohldefiniert, und seine Komponenten können in dem einen oder anderen Rahmen definiert werden. Die Lorentz-Transformation hingegen wird verwendet, um zu berechnen, wie sich Tensorkomponenten von einem Frame zum anderen ändern.

Das Kontrahieren eines Aufwärts- und eines Abwärtsindex auf einen Tensor zweiter Ordnung ergibt einen Tensor nullter Ordnung, d. h. einen invarianten Skalar. Kontrahieren eines Aufwärts- und eines Abwärtsindex auf einen Nicht-Tensor wie z$\Lambda^a_{\; b}$wird ein mathematisches Ergebnis liefern, aber es ist nicht garantiert, dass es sich um eine Größe von besonderem Interesse handelt. Ebenso die Kombination von Metrik mit$\Lambda^a_{\; b}$kann verwendet werden, um eine Menge mit allen Indizes zu erhalten, aber es ist kein Tensor und es ist am besten, diese Index-Gymnastik nicht mit Nicht-Tensoren zu spielen. Lass einfach$\Lambda^a_{\; b}$sein, was es ist.

Bei einem zweitrangigen Tensor entspricht das Absenken des ersten Index dem Vorabmultiplizieren mit der Metrik in der Matrixsprache; das Senken des zweiten Index entspricht dem nachträglichen Multiplizieren mit der Metrik. Die Transponierungsoperation entspricht der Umkehrung der Reihenfolge der Indizes (NB ohne sie nach oben oder unten zu verschieben). Zum Beispiel

$$\Lambda^a_{\; \mu} \Lambda^b_{\; \nu} F^{\mu\nu} = \Lambda^a_{\; \mu} F^{\mu\nu} \Lambda^b_{\; \nu} = \Lambda^a_{\; \mu} F^{\mu\nu} (\Lambda^{\! \rm T})^{\;\; b}_{\nu}$$ und in Matrixnotation kann diese Kombination geschrieben werden $$\Lambda F \Lambda^{\! \rm T}$$

Zunächst eine kurze Einführung in die Tensoren. Ein$(r,s)$Tensor$t$auf einen$K$-Vektorraum$V$ist nur eine multilineare Karte aus$s$Kopien von$V$Und$r$Kopien des dualen Vektorraums$V^*$zum darunter liegenden Feld$K$:

$$t:\underbrace{V^*\times...\times V^*}_{r-times}\times\underbrace{V\times...\times V}_{s-times}\to K$$ Der duale Vektorraum setzt sich einfach aus der Menge aller linearen Abbildungen zusammen$V$Zu$K$. Der Satz von allem$(r,s)$Tensoren an$V$wird gemeinhin bezeichnet$T^r_s(V)$.

Ok, wie kommen wir von diesen Vektoren und linearen Abbildungen zu diesen Zahlen$g_{\mu\nu}$mit denen wir arbeiten?

Nun, wir tun, was wir immer intuitiv tun, nämlich eine Basis zu wählen. Angenommen, wir haben uns für eine Basis entschieden$\{e_i\}\subset V$Auf unserem Vektorraum können wir jetzt jeden Vektor ausdrücken$v\in V$als Linearkombination dieser Basisvektoren:$v=v^ie_i$. Der$v^i\in K$sind im Grunde Zahlen und die Position des Index ist bisher nur eine Konvention. Dasselbe können wir jetzt für den dualen Vektorraum tun, mit einer besonders geschickten Wahl der Basis$\{e^i\}\subset V^*$, so dass$e^{i}(e_j)=\delta^i_j$. Auch hier ist die Position des Index nur eine Konvention, um Vektoren und duale Vektoren nicht zu verwechseln, da dies grundlegend unterschiedliche Objekte sind!

Mit dieser Indexkonvention würden wir nun die Komponenten eines Vektors schreiben als$v^i$und eines dualen Vektors als$v_i$.

Bei den Tensoren ist es ganz ähnlich:

$$t(w_k^{(1)}e^k,...,w_l^{(r)}e^l,v^i_{(1)}e_i,...,v^j_{(s)}e_j)=w_k^{(1)}...w_l^{(r)}v^i_{(1)}...v^j_{(s)}t(e^k,...,e^l,e_i,...,e_j)$$ Der$t(e^k,...,e^l,e_i,...,e_j)\equiv t^{k...l}_{i...j}$sind wieder nur Zahlen, unabhängig davon, auf welche Vektoren und Covektoren der Tensor wirkt (nur die Basis, die wir gewählt haben). Ähnlich wie die Vektoren und Covektoren können wir auch den Tensor durch seine Komponenten ausdrücken: $$t = t^{k...l}_{i...j}e_k\otimes...\otimes e_l\otimes e^i\otimes...\otimes e^j$$

Ok, was passiert, wenn wir eine andere Basis wählen?$\{b_i\}\subset V$und eine entsprechende duale Basis$\{b^i\}\subset V^*$? Da unsere neuen Basisvektoren (und neuen Basis-Covektoren) immer noch Elemente desselben zugrunde liegenden (Dual-)Vektorraums sind, können wir sie als eine Linearkombination ausdrücken:

$$b_i = A_i^je_j \qquad \text{and} \qquad b^i=B^i_je^j$$ Ähnlich wie oben können wir die Zahlen anzeigen$A_i^j$Und$B^i_j$als Komponenten eines Tensors: $$A=A_i^je_j\otimes b^i \qquad \text{and} \qquad B=B^i_jb_i\otimes e^j$$ Hinweis : In der Physik betrachten wir diese Transformationen normalerweise nicht als Tensoren, aber ich denke, das ist für unsere Diskussion hier sehr nützlich. Für weitere Informationen siehe zB ( Ist die Lorentz-Transformation ein Tensor? )

Nun zum Schluss, was bedeutet es eigentlich, zwei Tensoren zusammenzuziehen? Tensorkontraktionen werden wirklich nur für einen einzelnen Tensor definiert und sind lineare Abbildungen$C^k_l:T^r_s(V)\to T^{r-1}_{s-1}(V)$definiert von:

$$T^{\nu_1...\nu_r}_{\mu_1...\mu_s}e_{\nu_1}\otimes...\otimes e_{\nu_r}\otimes e^{\mu_1}\otimes...\otimes e^{\mu_s}\\ \mapsto T^{\nu_1...\nu_r}_{\mu_1...\mu_s} e^{\mu_l}(e_{\nu_k}) e_{\nu_1}\otimes...\otimes e_{\nu_{l-1}}\otimes e_{\nu_{l+1}}\otimes...\otimes e_{\nu_r}\otimes e^{\mu_1}\otimes...\otimes e^{\mu_{k-1}}\otimes e^{\mu_{k+1}}\otimes...\otimes e^{\mu_s})$$ Aber das ist kein Problem, da wir mit dem Tensorprodukt aus zwei Tensoren einen machen können. In Ihrem speziellen Fall haben wir den "Tensor"$\Lambda=\Lambda^{\nu}_{\mu}e_{\nu}\otimes b^{\mu}$und der Tensor$\eta=\eta_{\mu\nu}e^{\mu}\otimes e^{\nu}$: $$\eta\otimes\Lambda = \eta_{\mu\nu}\Lambda^{\alpha}_{\beta}e^{\mu}\otimes e^{\nu}\otimes e_{\alpha}\otimes b^{\beta}$$ Und $$C^{\alpha}_{\nu}(\eta\otimes\Lambda)=\eta_{\mu\nu}\Lambda^{\alpha}_{\beta}e^{\nu}(e_{\alpha})e^{\mu}\otimes b^{\beta} = \eta_{\mu\nu}\Lambda^{\nu}_{\beta}e^{\mu}\otimes b^{\beta}\equiv \Lambda_{\mu\beta} e^{\mu}\otimes b^{\beta}$$ In GR (und SR) ist die Raumzeit eine Lorentzsche Mannigfaltigkeit$L$, ist der interessierende Vektorraum der Tangentialraum$T_pL$irgendwann$p\in L$und die Tensoren, die Sie in Betracht ziehen, haben eine besondere Bedeutung, aber (wie immer) kümmert sich die Mathematik nicht zu sehr um die Physik.

Ich habe eine ganze Weile gebraucht, um an den Anfang des Relativismus-Unterrichts zu kommen, aber das hier kann helfen: Eine allgemeine Matrixmultiplikation, wie wir sie alle kennen, sieht so aus:

$$[A][B] = \sum a_{ri}b_{ir}$$ Nun würde die Relativitätsversion mit Einstein-Summierungskonvention diese Matrixmultiplikation so aussehen lassen: $$[A][B] = a_{\nu\sigma}b^{\sigma\nu}$$ Wie Sie sehen, ist dies dasselbe wie in der vorherigen Anweisung, wobei nur das Summationssymbol weggelassen wurde und somit der erste Index die Zeile und der zweite die Spalte darstellt. Nun gibt es möglicherweise Leute, die eine Erklärung dafür haben, wie sich ein (2,0) (dh 'kovariante') Tensor von einem (0,2) (dh 'kontravarianten') Tensor unterscheidet, aber ich behalte die Regel nur in meinem Kopf dass Sie nur kovariante mit kontravarianten Indizes kontrahieren können und somit eine Metrik der Form anwenden$g_{\mu \mu}$($g^{\mu \mu}$), wenn es notwendig ist, Indizes zu senken (steigen). Um zur Form von Matrizen zu gelangen, ist es notwendig, den Tensor wieder in eine Matrixform umzuwandeln, indem man ihn mit einer Metrik kontrahiert. Ich werde die Minkowski-Metrik verwenden$\eta$hier zur Vorführung. Dies bringt uns zurück zu Ihrer Frage, Ihre Gleichung kann wie folgt geschrieben werden: $$\Lambda_{\sigma\alpha}\eta^{\mu \sigma}\Lambda^{\nu\sigma}\eta_{\beta\sigma}\eta_{\mu\nu} = \Lambda_{\sigma\alpha}\eta_{\beta\sigma}\Lambda^{\nu\sigma}\delta^{\sigma}_{\nu} = \Lambda_{\nu\alpha}\eta_{\beta\sigma}\Lambda^{\nu\sigma} \stackrel{\nu \leftrightarrow \beta}{=} [\Lambda]\cdot[\eta]\cdot[\Lambda]^T$$ Wobei ich das nämlich ausgenutzt habe $$\eta^{\mu\sigma}\eta_{\beta\sigma} = \delta^{\mu}_{\sigma}$$ Und nur das grundlegende Steigen und Senken von Indizes über: $$\Lambda^{\mu}_{\;\alpha} = \Lambda_{\sigma\alpha}\eta^{\mu \sigma} \text{ and } \Lambda_{\mu}^{\;\alpha} = \Lambda^{\sigma\alpha}\eta_{\mu \sigma}$$

Ich hätte irgendwo einen Indexfehler machen können, aber ich hoffe, das gibt eine Art Verständnis und ich hoffe, es hilft.