Wenn ΛΛ\Lambda kein Tensor ist, was bedeuten dann Λμ νΛ νμ\Lambda ^\mu _{~~~\nu} und ΛμνΛμν\Lambda _{\mu \nu} und so weiter?

Nach dieser Frage , die das behauptet Λ (die Transformationsmatrix in der Lorentz-Gruppe) kein Tensor ist, dann wenn Λ       v μ ist DIE Lorentz-Transformationsmatrix, was bedeutet Λ μ v , Λ μ       v Und Λ μ v ?

Ich weiß, wie sie verwandt sind Λ       v μ , Zum Beispiel:

Λ μ v = η μ σ Λ       v σ .
In Anbetracht der Tatsache, dass η ist in der Tat ein Tensor und Λ ist "nur eine Zahl" (na ja, nur eine Matrix), bedeutet das das Λ μ v ist genauso ein Tensor wie if R → ist ein gewöhnlicher 3D-Vektor und A ∈ R dann nur eine Zahl A → = A R → ist ein Vektor?

mögliches Duplikat von physical.stackexchange.com/q/255933/84967 und den darin enthaltenen Links
Ich habe diese Links gesehen, bevor ich gefragt habe. Da ist das erklärt Λ μ v ist das Gegenteil, aber ich weiß immer noch nicht, was alle anderen Kombinationen sind. Ich fügte hinzu Λ μ v in meine Frage nur zur Vervollständigung.

Antworten (1)

Wenngleich Λ kein Tensor ist, können Sie mit der Metrik trotzdem Indizes senken und erhöhen. Schließlich multiplizierst du nur Matrizen. Sie sind nützlich, weil Sie damit die Umkehrung von ausdrücken können Λ auf bequeme Weise. Um explizit zu sein, definieren wir "die" Transformationsmatrizen (diejenigen, die Vektoren transformieren) mit einem Index nach oben und einem nach unten:

v ' μ = Λ μ v v v .

Ein kovarianter Vektor transformiert sich mit dem Inversen:

A μ ' = A v ( Λ − 1 ) v μ .

Beachten Sie, dass Λ − 1 hat die gleiche Indexpositionierung wie Λ , da die Umkehrung einer linearen Transformation (was ein 1-1-Tensor ist) auch eine lineare Transformation ist. Nun, eine definierende Eigenschaft einer Lorentz-Transformation ist dies η μ v = Λ a μ Λ β v η a β . Beide Seiten multiplizieren mit η v ρ ( Λ − 1 ) μ λ , das ist gleichbedeutend mit

( Λ − 1 ) ρ λ = η λ β η v ρ Λ β v = Λ λ ρ

was sagt das Λ − 1 = Λ T solange Sie mit der Indexpositionierung vorsichtig sind. Tatsächlich sagt dies nur aus, dass die Lorentz-Matrizen orthogonale Matrizen in Bezug auf das innere Produkt von Minkowski sind. Es erinnert uns auch an das kovariante Transformationsgesetz als

A μ ' = Λ μ v A v

Das ist so etwas wie die kontravariante Version, aber mit umgekehrten Indizes. Ich persönlich bin jedoch verwirrt und ziehe es vor, nichts davon zu verwenden und einfach zu schreiben Λ − 1 wann immer ich muss.

Danke für deine Antwort, obwohl ich nach einer Interpretation für gesucht habe Λ μ v Und Λ μ v . Und auch, ob diese Tensoren sind oder "nur Matrizen" bleiben.
@ user171780 Keiner von ihnen sind Tensoren, daher gibt es nicht viel darüber zu sagen, da die Versionen mit zwei Indizes nach oben oder zwei nach unten nicht sehr oft auftauchen. Die einzige interessante Tatsache, die mir einfällt, ist, dass sie antisymmetrisch sind, was Ihnen helfen könnte (oder auch nicht), sich an die explizite Form einer Lorentz-Matrix zu erinnern.
Wenn ΛΛ\Lambda kein Tensor ist, was bedeuten dann Λμ νΛ νμ\Lambda ^\mu _{~~~\nu} und ΛμνΛμν\Lambda _{\mu \nu} und so weiter?
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