Arbeiten mit Indizes von Tensoren in der speziellen Relativitätstheorie

Question

Arbeiten mit Indizes von Tensoren in der speziellen Relativitätstheorie

MeMeansMe

Ich versuche, die Tensornotation zu verstehen und arbeite mit Indizes in der speziellen Relativitätstheorie. Ich verwende zu diesem Zweck ein Buch, in dem $\eta_{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}$ wird für den metrischen Tensor verwendet und ein Vektor gemäß der Regel transformiert

X^{' μ} = Λ^{μ}_{a} X^{a}

$x'^\mu= \Lambda^\mu{}_{\alpha}x^\alpha$ (Lorentz-Transformation).

Ich glaube, ich verstehe, was bis zu diesem Punkt vor sich geht, aber jetzt habe ich Mühe zu verstehen, wie die folgende Formel funktioniert:

η_{v μ} Λ^{μ}_{a} η^{a κ} = Λ_{v}^{κ}

$\eta_{\nu\mu}\Lambda^{\mu}{}_{\alpha}\eta^{\alpha\kappa} ~=~ \Lambda_{\nu}{}^{\kappa}$

Warum ist dies nicht gleich (zum Beispiel) $\Lambda^{\kappa}{}_{\nu}$ ? Außerdem habe ich Probleme zu verstehen, was der Unterschied zwischen ist $\Lambda_\alpha^{\ \ \beta}$ , $\Lambda_{\ \ \alpha}^\beta$ , $\Lambda^\alpha_{\ \ \beta}$ Und $\Lambda^{\ \ \alpha}_\beta$ (Reihenfolge und Position der Indizes). Und wenn wir Tensoren als Matrizen schreiben, welche Indizes stehen für die Zeilen und welche für die Spalten?

Ich hoffe jemand kann mir das aufklären.

Akoben

Es kann Ihnen helfen, sich diese als vorzustellen

Λ_{ν}^{κ} = η_{ρ ν} Λ^{ρ κ}

$\Lambda_\nu^\kappa = \eta_{\rho\nu}\Lambda^{\rho\kappa}$

MeMeansMe

Vielen Dank für Ihre Antwort, aber wie erklärt dies die Reihenfolge und Position der Indizes?

QMechaniker

Verwandte: physical.stackexchange.com/q/158309/2451 , physical.stackexchange.com/q/169762/2451 und Links darin.

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Arbeiten mit Indizes von Tensoren in der speziellen Relativitätstheorie

Es kann Ihnen helfen, sich diese als vorzustellen $\Lambda_\nu^\kappa = \eta_{\rho\nu}\Lambda^{\rho\kappa}$
Vielen Dank für Ihre Antwort, aber wie erklärt dies die Reihenfolge und Position der Indizes?
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KumpelJohn · Answer 1

Bei der Notation der Tensor-Indizes ist jeder "Schlitz" unterschiedlich und kann separat angehoben und abgesenkt werden. So $\eta^{\kappa\alpha}\Lambda^\mu_{\ \ \alpha} = \Lambda^{\mu\kappa}$ . Dann $\Lambda^{\mu\kappa}\eta_{\mu\nu} = \Lambda_\nu^{\ \ \kappa}$ .

Wenn diese Objekte als Matrizen dargestellt werden, ist die übliche Konvention, dass der erste Index die Zeile und der zweite die Spalte ist.

Achten Sie darauf, sich an die Konvention zu halten, wenn Sie eine Gleichung in Tensornotation in lineare Algebra mit ihrer Matrixdarstellung umwandeln. Wenn wir eine Gleichung wie hätten $A_{ij} = C^{k}{}_{j}B_{ik}$ , wir könnten es mit Matrizen darstellen $\bf{A}= \bf{B}\bf{C}$ . Beachten Sie den Austausch, damit die Matrixmultiplikation die Gleichung korrekt darstellt (wenn Sie sich die vier Indizes der multiplizierten Tensorkomponenten ansehen, sollte es so aussehen, als würden sich die inneren beiden wiederholen ... in diesem Fall $B_{ik}C^{k}{}_{j}$ ).

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QMechaniker

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KumpelJohn

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