Anheben und Absenken der Indizes der Levi-Civita-Symbole (+---) Metrik?

Question

Anheben und Absenken der Indizes der Levi-Civita-Symbole (+---) Metrik?

Jägerber48

Es gibt hier ein paar Fragen zu den oberen und unteren Indizes des Levi-Civita-Symbols, aber ich konnte keine Antwort auf meine genaue Frage finden. Ich arbeite an einem Problem, bei dem ich im Minkowski-Raum mit der Metrik (+---) beginne, weil ich aus irgendeinem Grund dachte, es sei eine gute Idee. Ich könnte meine Frage wahrscheinlich beantworten, indem ich zur (-+++)-Metrik wechsele, aber ich bin immer noch neugierig, wie die Antwort auf meine Frage lautet, OHNE die Metriken zu wechseln, dh ich möchte die (+---)-Metrik beibehalten.

Außerdem begehe ich in meinem Problem eine Sünde der speziellen Relativitätstheorie, indem ich meine Gleichungen explizit in zeitliche und räumliche Teile zerlege. Meine Frage ist in einer solchen Situation, wie ich das Kreuzprodukt zweier (Drei-) Vektoren aufschreiben soll, $\vec{A}$ Und $\vec{B}$ . Um etwas expliziter zu werden, was ich meine:

A = [\begin{matrix} A^{0} \\ A^{1} \\ A^{2} \\ A^{3} \end{matrix}] \vec{A} = [\begin{matrix} A^{1} \\ A^{2} \\ A^{3} \end{matrix}]

$\textbf{A} = \begin{bmatrix}A^0\\A^1\\A^2\\A^3\end{bmatrix} \hspace{1 in} \vec{A} = \begin{bmatrix}A^1\\A^2\\A^3\end{bmatrix}$

Ich will rechnen $\vec{A} \times \vec{B}=\vec{C}$ . Wenn ich naiv wäre und die Einstein-Konvention und metrische Konventionen ignorieren würde, würde ich einfach schreiben:

C_{ich, N A ich v e} = ϵ_{ich J k} A_{J} B_{k}

$C_{i,naive} = \epsilon_{ijk} A_{j}B_{k}$

{\vec{C}}_{N A ich v e} = \sum_{ich} C_{ich, N A ich v e} {\hat{X}}_{ich} = (A_{2} B_{3} - A_{3} B_{2}) {\hat{X}}_{1} + (- A_{1} B_{3} + A_{3} B_{1}) {\hat{X}}_{2} + (A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1}) {\hat{X}}_{3}

$\vec{C}_{naive} = \sum_i C_{i,naive} \hat{x}_i = \\(A_2 B_3 - A_3B_2)\hat{x}_1 + (-A_1 B_3 + A_3B_1)\hat{x}_2 + (A_1 B_2 - A_2B_1)\hat{x}_3$ Dies entspricht jedoch nicht der Einstein-Notation, bei der obere und untere Indizes übereinstimmen sollten, und ich habe auch einige Indizes gesenkt, ohne mir Gedanken darüber zu machen, ob ich Vorzeichen ändern sollte. Wenn ich Indizes übereinstimmen lassen wollte, würde ich vielleicht schreiben:

C^{ich} = ϵ^{ich}_{J k} A^{J} B^{k}

$C^{i} = \epsilon^i{}_{jk} A^{j} B^{k}$ Hier komme ich ins Grübeln. Wie ist

ϵ^{i}_{j k}

$\epsilon^i{}_{jk}$ definiert oder wie soll ich es definieren? Einerseits will ich

{\vec{C}}_{E i n} = C^{i} {\hat{x}}_{i} = {\vec{C}}_{n a i v e}

$\vec{C}_{Ein} = C^{i}\hat{x}_i = \vec{C}_{naive}$ in dem fall hätte ich das

ϵ_{ich J k} = ϵ^{ich}_{J k}

$\epsilon_{ijk} = \epsilon^i{}_{ jk}$ Andererseits habe ich aber Lust

ϵ^{i}_{j k} = g^{i l} ϵ_{l j k}

$\epsilon^i{}_{jk} = g^{il}\epsilon_{ljk}$ aber seit

i

$i$ nimmt die Werte 1 bis 3 an und wir befinden uns in der (+---) Metrik, dies würde dies implizieren

ϵ^{ich}_{J k} = - ϵ_{ich J k}

$\epsilon^{i}{}_{jk} = -\epsilon_{ijk}$

Wie geht man hier richtig vor? Sollte ich das Kreuzprodukt anders definieren? Ich weiß, dass das Levi-Civita-Symbol im Vergleich zum Levi-Civita-Tensor etwas hat, aber das scheint zu viel Detail und Feuerkraft für das zu sein, was ich hier versuche. Ich weiß auch, dass es etwas über ein linkshändiges vs. ein rechtshändiges Koordinatensystem gibt.

geniert

Das stimmt in der Tat

ϵ_{j k}^{i} = - ϵ_{i j k}

$\epsilon^{i}_{\phantom{i}jk} = -\epsilon_{ijk}$ . Warum verwirrt dich das?

Jägerber48

Wäre es wahr, wenn ich in der (-+++)-Metrik wäre? Ich bin verwirrt, weil es ein relatives Minuszeichen in die Definition des Kreuzprodukts einzuführen scheint, verglichen mit dem, was ich im euklidischen Raum (im Gegensatz zum Minkowski-Raum) erwarten würde.

geniert

Ja, es gibt ein zusätzliches Minuszeichen bei der Verwendung von kovarianten und kontravarianten Indizes. Die Notation

(a \times b)_{i} = ϵ_{i j k} a_{j} b_{k}

$(a\times b)_i= \epsilon_{ijk}a_j b_k$ gilt nur in euklidischen Metriken (da sich im Allgemeinen die kontravarianten Komponenten eines Vektors von den entsprechenden kovarianten um a unterscheiden

g^{μ ν}

$g^{\mu\nu}$ Multiplikationsfaktor).

Antworten (3)

Anheben und Absenken der Indizes der Levi-Civita-Symbole (+---) Metrik?

Das stimmt in der Tat $\epsilon^{i}_{\phantom{i}jk} = -\epsilon_{ijk}$ . Warum verwirrt dich das?
Wäre es wahr, wenn ich in der (-+++)-Metrik wäre? Ich bin verwirrt, weil es ein relatives Minuszeichen in die Definition des Kreuzprodukts einzuführen scheint, verglichen mit dem, was ich im euklidischen Raum (im Gegensatz zum Minkowski-Raum) erwarten würde.
Ja, es gibt ein zusätzliches Minuszeichen bei der Verwendung von kovarianten und kontravarianten Indizes. Die Notation $(a\times b)_i= \epsilon_{ijk}a_j b_k$ gilt nur in euklidischen Metriken (da sich im Allgemeinen die kontravarianten Komponenten eines Vektors von den entsprechenden kovarianten um a unterscheiden $g^{\mu\nu}$ Multiplikationsfaktor).

Jägerber48 · Answer 1

OK. Ich werde meine Antwort als Antwort auf meine Frage setzen, da es sich um einige neue Informationen handelt, die ich gefunden habe und die ich hier dokumentieren möchte. Ein Teil meiner Verwirrung ist auf die Tatsache zurückzuführen, dass verschiedene Autoren unterschiedliche Notationen in Bezug auf den Übergang von Levi-Civita-Symbolen oder Tensordichten verwenden ( $\tilde{\epsilon}$ ) und Levi-Civita-Tensoren ( $\epsilon$ ). Hier sind die beiden klarsten Referenzen, die ich zu diesem Thema gefunden habe, und sie veranschaulichen die beiden möglichen konventionellen Entscheidungen. Vorlesungsunterlagen von Sean Carroll über Geometrie und Raumzeit Kap. 2 und Christopher Popes Vorlesungsunterlagen zur Elektrodynamik. Ich finde, die Notizen von Pope geben ein bisschen mehr Details, was für mich den Unterschied ausmachte.

Der Punkt ist das Levi-Civita-Symbol mit den unteren Indizes*, $\tilde{\epsilon}_{ijk}$ ist definiert als ein Objekt, das in seinen Indizes antisymmetrisch ist. dh $\tilde{\epsilon}_{123}=+1$ wohingegen $\tilde{\epsilon}_{132}=-1$ . Darüber hinaus nimmt das Symbol (wie in den Papstnotizen besser erklärt) in allen Koordinatenrahmen denselben Wert an. Das heißt, wenn wir von einem Satz von Koordinaten transformieren $\{x^i\}$ zu einem anderen Satz von Koordinaten $\{x^{'i}\}$ wir haben uns verwandeln $\tilde{\epsilon}_{ijk}$ verwandelt sich in $\tilde{\epsilon}^{'}_{ijk}$ mit der Beziehung, dass $\tilde{\epsilon}^{'}_{ijk}=\tilde{\epsilon}_{ijk}$

Es ist dann möglich, dies anhand einiger Tatsachen über Determinanten zu beweisen

{\tilde{ϵ}}_{ich J k} = {\tilde{ϵ}}_{ich J k}^{^{'}} = | \frac{\partial X^{'}}{\partial X} | \frac{\partial X^{A}}{\partial X^{^{'} ich}} \frac{\partial X^{B}}{\partial X^{^{'} J}} \frac{\partial X^{C}}{\partial X^{^{'} k}} {\tilde{ϵ}}_{A B C}

$\tilde{\epsilon}_{ijk}=\tilde{\epsilon}^{'}_{ijk} = \left|\frac{\partial x'}{\partial{x}}\right|\frac{\partial x^a}{\partial x^{'i}}\frac{\partial x^b}{\partial x^{'j}}\frac{\partial x^c}{\partial x^{'k}}\tilde{\epsilon}_{abc}$

Das heißt $\tilde{\epsilon}_{ijk}$ transformiert sich wie ein Tensor Dichte von Gewicht +1. Es stellt sich heraus $\sqrt{|\text{det}(g_{ij})|}=\sqrt{|\text{det }g|}$ ist eine Tensordichte mit dem Gewicht -1 (wie in den Papstnotizen bewiesen), so dass Sie durch Multiplizieren dieser beiden Tensordichten eine neue Tensordichte mit dem Gewicht 0 erhalten, dh einen regulären Tensor (angezeigt durch das Fehlen der Tilde).

ϵ_{ich J k} = \sqrt{| det G |} {\tilde{ϵ}}_{ich J k}

$\epsilon_{ijk} = \sqrt{|\text{det }g|}\tilde{\epsilon}_{ijk}$

Darin sind sich beide Autoren einig. Und bisher hätte sich daran nichts geändert, wenn man die (-+++)-Metrik im Gegensatz zur (+---)-Metrik** gewählt hätte. Der nächste Schritt besteht jedoch darin, das obere Indexobjekt zu finden. Seit $\epsilon_{ijk}$ ein Tensor ist, können wir seine Indizes erhöhen:

ϵ^{ich J k} = G^{ich {ich}^{'}} G^{J J^{'}} G^{k k^{'}} ϵ_{{ich}^{'} J^{'} k^{'}} = G^{ich {ich}^{'}} G^{J J^{'}} G^{k k^{'}} {\tilde{ϵ}}_{{ich}^{'} J^{'} k^{'}} \sqrt{| det G |} = det (G^{- 1}) \sqrt{| det G |} {\tilde{ϵ}}_{ich J k} = \frac{Zeichen (G)}{\sqrt{| G |}} {\tilde{ϵ}}_{ich J k}

$\epsilon^{ijk} = g^{ii'}g^{jj'}g^{kk'}\epsilon_{i'j'k'} = g^{ii'}g^{jj'}g^{kk'}\tilde{\epsilon}_{i'j'k'}\sqrt{|\text{det }g|} \\ =\text{det}(g^{-1}) \sqrt{|\text{det }g|} \tilde{\epsilon}_{ijk} = \frac{\text{sgn}(g)}{\sqrt{|g|}}\tilde{\epsilon}_{ijk}$

An dieser Stelle haben wir

ϵ^{ich J k} = \frac{Zeichen (G)}{\sqrt{| det G |}} {\tilde{ϵ}}_{ich J k}

$\epsilon^{ijk} = \frac{\text{sgn}(g)}{\sqrt{|\text{det }g|}}\tilde{\epsilon}_{ijk}$

Hier treffen die Leute eine Konventionswahl. Carroll (und viele andere, die ich gesehen habe) trifft zum Beispiel die Wahl $\tilde{\epsilon}^{ijk} = \tilde{\epsilon}_{ijk}$ damit wir bekommen

ϵ^{ich J k} = \frac{Zeichen (G)}{\sqrt{| det G |}} {\tilde{ϵ}}^{ich J k}

$\epsilon^{ijk} = \frac{\text{sgn}(g)}{\sqrt{|\text{det }g|}}\tilde{\epsilon}^{ijk}$

Papst nimmt die Konvention, dass $\tilde{\epsilon}^{ijk} = \text{sgn}(g)\tilde{\epsilon}_{ijk}$ so dass

ϵ^{ich J k} = \frac{1}{\sqrt{| det G |}} {\tilde{ϵ}}^{ich J k}

$\epsilon^{ijk} = \frac{1}{\sqrt{|\text{det }g|}}\tilde{\epsilon}^{ijk}$

Wir haben also schon mindestens zwei Convention-Entscheidungen getroffen. Das erste ist wie $\epsilon_{ijk}$ bezieht sich auf $\tilde{\epsilon}_{ijk}$ und das zweite ist wie $\tilde{\epsilon}_{ijk}$ bezieht sich auf $\tilde{\epsilon}^{ijk}$ . Ich denke, wir haben jetzt noch eine weitere Wahl, wie wir das Kreuzprodukt definieren können. Ich denke, es ist verantwortungsvoll, die gesamte Maschinerie bis zu diesem Punkt im Auge zu behalten und eine offensichtlich kovariante Definition des Kreuzprodukts zu treffen. Das würde so aussehen:

(A \times B)^{ich} = ϵ^{ich}_{J k} A^{J} B^{k} = G^{ich {ich}^{'}} ϵ_{{ich}^{'} J k} A^{J} B^{k} = \pm ϵ_{ich J k} A^{J} B^{k} = \pm {\tilde{ϵ}}_{ich J k} A^{J} B^{k}

$(A\times B)^i = \epsilon^{i}{}_{jk}A^jB^k=g^{ii'}\epsilon_{i'jk}A^j B^k = \pm \epsilon_{ijk}A^j B^k=\pm\tilde{\epsilon}_{ijk}A^j B^k$

Wo $\pm$ gibt die nächste Konventionsauswahl einer überwiegend positiven oder überwiegend negativen metrischen Signatur an. Ich denke, das hat den Nachteil, dass man je nachdem, ob man die meist positive oder meist negative Metrik nimmt, ein relatives Minuszeichen in der Definition des Kreuzprodukts bekommt, aber ich denke, das ist eigentlich zu erwarten, da es den räumlichen Anteil aus dem Sein verschiebt ein rechtshändiges nach linkshändiges Koordinatensystem. Es hat auch den Nachteil, dass man sich wirklich etliche Stellen für negative Vorzeichen merken muss. Es hat den Vorteil, dass es kovariant ist, sodass Sie, wenn Sie die Regeln befolgen, die Manipulationen einfacher durchführen können, denke ich.

Zum Beispiel gibt @Solenodon Paradoxus eine Formel für den "richtigen Ausdruck" für das Kreuzprodukt an, aber ich bin mir nicht sicher, aus welchen Gründen das der "richtige Ausdruck" ist. Es folgt der richtigen Einstein-Konvention, aber das verwendete Symbol ist das Levi-Civita-Symbol, das kein Tensor ist, sodass es eigentlich keine Regel gibt, die besagt, dass der Ausdruck der Einstein-Konvention folgen sollte, was Verwirrung hinsichtlich der Motivation hinter bestimmten Definitionen hinterlässt, wenn es so viele gibt Auswahlmöglichkeiten.

*Ich glaube, das ist eine Frage der Konvention. Wir könnten alternativ das Levi-Civita-Symbol mit oberen Indizes als das in seinen Indizes antisymmetrische Objekt annehmen.

**aber die Geschichte wäre vielleicht anders, wenn wir stattdessen das oben indizierte Levi-Civita-Symbol als das übliche antisymmetrische Objekt gewählt hätten.

edit1: für weniger umständliche Notation könnten wir definieren $(A \times B)^i = \epsilon^{ijk}A_jB_k$ was der gegebenen Definition äquivalent wäre. Für mein Problem, an dem ich arbeite, denke ich an kontravariante Komponenten von Vektoren als die "physikalischen" Größen, also schreibe ich lieber Ausdrücke in Bezug auf diese.

Prof. Legolasov · Answer 2

Interessante Frage. Der korrekte Ausdruck für den allgemeinen Fall wäre

C^{ich} = G_{J J^{'}} G_{k k^{'}} \frac{ε^{ich J k}}{\sqrt{| det G |}} A^{J^{'}} B^{k^{'}},

$c^i = g_{jj'} g_{kk'} \; \frac{\varepsilon^{ijk}}{\sqrt{\left| \det g \right|}} \; a^{j'} b^{k'},$

oder

C^{ich} = G^{ich {ich}^{'}} \sqrt{| det G |} ε_{{ich}^{'} J k} A^{J} A^{k}

$c^{i} = g^{i i'} \sqrt{\left| \det g \right|} \; \varepsilon_{i' j k} a^{j} a^{k}$

wenn Sie das Levi-Civita-Symbol mit niedrigeren Indizes verwenden möchten.

Wo $g_{ij}$ ist der Rückzug der Raumzeitmetrik auf dem dreidimensionalen Raumschnitt (oder Sie können von Anfang an mit dem 3D-Raum beginnen) und $\det g$ ist die Determinante der kovarianten metrischen Tensormatrix. Dieser Ausdruck kann als Tensor bewiesen werden, dh $c^i$ ist ein echter Tensor im allgemeinsten Sinne dieses Wortes.

Für die spezielle Relativitätstheorie in Minkowski-Koordinaten haben Sie

G_{ich J} = \pm δ_{ich J},

$g_{ij} = \pm \delta_{ij},$

bei dem die $\pm$ steht für die beiden möglichen Konventionen (-+++ und +---).

Es ist leicht zu erkennen, dass Sie in beiden Fällen damit enden

C^{ich} = ε^{ich J k} A^{J} B^{k} .

$c^i = \varepsilon^{ijk} a^j b^k.$

2 Fragen. 1) Sie verwenden $\epsilon^{ijk}$ was NICHT gleich ist $\epsilon_{ijk}$ basierend auf der obigen Diskussion. Welcher dieser beiden ist gleich +1 für gerade Permutationen der Indizes? 2) Soll das heißen, die Definition des Kreuzprodukts (unter Verwendung der korrekten Einstein-Notation) wäre $c^i = -\epsilon^i{}_{jk}a^j b^k$
1) nein, ich benutze $\varepsilon^{ijk}$ das kein Tensor ist und als antisymmetrisches Objekt definiert ist (Levi-Civita-Symbol). 2) Nein, die Definition ergibt sich aus der 1. Formel in meiner Antwort.
OK. Das scheint zu helfen. Aber was wäre, wenn wir stattdessen genommen hätten $\epsilon_{ijk}$ eher das Levi-Civita-Symbol zu sein als $\epsilon^{ijk}$ . Dann schätze ich, Ihre Formel wäre $c^i = g^{ii'}\epsilon_{ijk} a^j b^k$ in diesem Fall landen Sie bei $c^i = \pm \epsilon_{ijk} a^j b^k$ je nachdem welche Metrik man nimmt. Woher wissen wir also, ob wir nehmen sollten $\epsilon^{ijk}$ oder $\epsilon_{ijk}$ das Levi-Civita-Symbol sein?
@jgerber Ich habe eine Bearbeitung vorgenommen, um eine Formel für das Levi-Civita-Symbol mit niedrigeren Indizes aufzunehmen (beachten Sie, dass es technisch nicht kovariant ist, da es kein Tensor ist).
Ich kenne das Problem jetzt. Du hast ausgelassen $\text{sgn}(\text{det }g)$ und ich denke, das führt dazu, dass Sie in Ihrer letzten Zeile das falsche Ergebnis erhalten. Ihre ersten beiden Zeilen können als richtig interpretiert werden, wenn Sie die Papstkonvention aus meiner Antwort verwenden. In diesem Fall hat die untere Gleichung kein zusätzliches Minuszeichen, also insgesamt 1 Minuszeichen. Die obere Gleichung hat jedoch ein verstecktes Minuszeichen $(\epsilon^{ijk} = \text{sgn}(\text{det }g)\epsilon_{ijk}$ ) ergibt 3 Minuszeichen. Ihre endgültige Antwort sollte sein $c^i = \pm \epsilon_{ijk} a^j b^k$ . Überall in diesem Kommentar verwende ich das Symbol, nicht den Tensor
@jgerber Du bist zu besessen von einem Minuszeichen. Es ist nur ein Teil der Definition. Es gibt keine richtige Wahl, nur was du triffst. Die beiden Auswahlmöglichkeiten in meiner Antwort unterscheiden sich durch ein Zeichen, dem stimme ich zu.

Arnaldo Gammal · Answer 3

Im Landau-Buch Bd. II, Seite 17, sind die Levi-Civita-Tensoren für den Minkowski-Raum M definiert $^4$ wie in der gewünschten Metrik. Ich glaube, dass alles funktioniert, wenn Sie die Vektorproduktdefinition verwenden ${\vec A}\times {\vec B}$ als $C^i=\epsilon^{0i}_{\;\;jk} A^j B^k$ . Und das Anheben und Absenken der räumlichen Indizes ändert das Vorzeichen als $A_k=-A^k$ . Also wenn $ij$ Indizes steigen wir haben $\epsilon^{0i}_{\;\;jk}=\epsilon^{0ijk}$ . Auch in M $^4$ Raum die Norm von ${\vec A}$ wird sein $A_kA^k=-{\vec A}^2$ .

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