Indexnotation und die Minkowski-Metrik

Angesichts der Minkowski-Metrik η die Lorentz-Transformation Λ erfüllt

η = Λ T η Λ
die in Indexform geschrieben werden können
η μ v = ( Λ T ) μ a η a β Λ v β
η μ v = η a β Λ μ a Λ v β
Wie erhalte ich einen Indexausdruck für η μ v ausgehend von diesem Ausdruck? Ich habe versucht, durch zu multiplizieren η A B mit seiner indexerhöhenden Eigenschaft, aber das hilft nicht.

Manchmal können obere Indizes als inverse Matrix verstanden werden, ich denke, dies könnte einer dieser Fälle sein.

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Verwenden der indexerhöhenden Eigenschaft

η σ λ = η σ μ η μ v η v λ

Anwendung Ihrer Formel

= η σ μ η a β Λ μ a Λ v β η v λ

und erneutes Verwenden der indexerhöhenden Eigenschaft

= η a β Λ a σ Λ β λ .

Hatten Sie das im Sinn? Alternativ die η a β des endgültigen Ausdrucks können auch ausgetauscht werden η a β  durch geeignetes Absenken eines der Indizes jeder der Transformationsmatrizen:

η a β Λ a σ Λ β λ = η a γ η γ δ η δ β Λ a σ Λ β λ = η γ δ Λ γ σ Λ δ λ .

Das gibt η μ v = η σ ρ Λ σ μ Λ ρ v . Ist es möglich, dies in das Formular umzuwandeln η μ v = η σ ρ Λ ρ μ Λ σ v (Ich habe dies in meinen Notizen und frage mich, ob dies ein Fehler ist).
@Watw (Entschuldigung für die späte Antwort, ich verwende SE eindeutig nicht häufig genug.) Wenn Sie (ein Buch) eine konsistente Notation verwenden, würde ich diese Bedingung als lesen η − 1 = Λ η − 1 Λ T . Natürlich sind SO(1,3)-Matrizen invertierbar, also multiplizieren wir dies von links mit Λ − 1 und von rechts vorbei ( Λ T ) − 1 , wir bekommen η − 1 = Λ − 1 η − 1 ( Λ T ) − 1 = ( Λ T η Λ ) − 1 , was zeigt, dass die Bedingung (bei gegebener Invertierbarkeit) der ursprünglichen äquivalent ist.
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