Warum ist nicht (ΛT)μν=Λνμ(ΛT)μν=Λνμ{(\Lambda^T)^\mu}_\nu = {\Lambda_\nu}^\mu?

Question

Warum ist nicht (ΛT)μν=Λνμ(ΛT)μν=Λνμ{(\Lambda^T)^\mu}_\nu = {\Lambda_\nu}^\mu?

Mikkel Rev

Ich folge Vorlesungsunterlagen zu SR. Der Autor schreibt, dass Folgendes äquivalent ist:

\begin{matrix} (1) & Λ^{T} η Λ = η ⟺ η_{μ v} {Λ^{μ}}_{ρ} {Λ^{v}}_{σ} = η_{ρ σ} . \end{matrix}

$\Lambda^T\eta\Lambda = \eta \iff \eta_{\mu \nu} {\Lambda^\mu}_\rho{\Lambda^\nu}_\sigma = \eta_{\rho \sigma}. \tag{1}$ Das wundert mich, denn

\begin{matrix} (2) & {(Λ^{T})^{μ}}_{v} = {Λ_{v}}^{μ} . \end{matrix}

${(\Lambda^T)^\mu}_\nu = {\Lambda_\nu}^\mu.\tag{2}$

Und so hatte ich es erwartet

\begin{matrix} (3) & Λ^{T} η Λ = η ⟺ η_{μ v} {Λ_{ρ}}^{μ} {Λ^{v}}_{σ} = η_{ρ σ} . \end{matrix}

$\Lambda^T\eta\Lambda = \eta \iff \eta_{\mu \nu} {\Lambda_\rho}^\mu{\Lambda^\nu}_\sigma = \eta_{\rho \sigma}.\tag{3}$ Warum ist das falsch?

Knzhou

Ich glaube, du hast da irgendwo einen Extra-Flip reingesteckt. Stellen Sie sich das einfach wie Matrizen vor:

A B C = D

$ABC = D$ bedeutet

A_{i j} B_{j k} C_{k ℓ} = D_{i ℓ}

$A_{ij} B_{jk} C_{k\ell} = D_{i\ell}$ . Deshalb

A^{T} B C = D

$A^T BC = D$ bedeutet

B_{j k} A_{j i} C_{k ℓ} = D_{i ℓ}

$B_{jk} A_{ji} C_{k\ell} = D_{i\ell}$ wobei ich die Kommutativität der Multiplikation verwendet und ersetzt habe

A_{i j}

$A_{ij}$ mit

A_{j i}

$A_{ji}$ . Dies ist genau dasselbe wie Gleichung (1).

Knzhou

Die Indexplatzierung oben/unten ist ein Ablenkungsmanöver, das nur Verwirrung stiften kann; es ist kein "echter" Index, weil

Λ

$\Lambda$ ist kein Tensor.

Mikkel Rev

@knzhou Mit deinem ersten Kommentar, glaube ich, bestätigst du, dass du auch verwirrt bist, richtig? Das Umdrehen der Indizes ist genau das, was ich vorschlage, aber das tun die Vorlesungsunterlagen nicht.

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Warum ist nicht (ΛT)μν=Λνμ(ΛT)μν=Λνμ{(\Lambda^T)^\mu}_\nu = {\Lambda_\nu}^\mu?

Ich glaube, du hast da irgendwo einen Extra-Flip reingesteckt. Stellen Sie sich das einfach wie Matrizen vor: $ABC = D$ bedeutet $A_{ij} B_{jk} C_{k\ell} = D_{i\ell}$ . Deshalb $A^T BC = D$ bedeutet $B_{jk} A_{ji} C_{k\ell} = D_{i\ell}$ wobei ich die Kommutativität der Multiplikation verwendet und ersetzt habe $A_{ij}$ mit $A_{ji}$ . Dies ist genau dasselbe wie Gleichung (1).
Die Indexplatzierung oben/unten ist ein Ablenkungsmanöver, das nur Verwirrung stiften kann; es ist kein "echter" Index, weil $\Lambda$ ist kein Tensor.
@knzhou Mit deinem ersten Kommentar, glaube ich, bestätigst du, dass du auch verwirrt bist, richtig? Das Umdrehen der Indizes ist genau das, was ich vorschlage, aber das tun die Vorlesungsunterlagen nicht.

QMechaniker · Answer 1

Die drei Gleichungen von OP sollten lauten
$\begin{matrix} (1') & Λ^{T} η Λ = η ⟺ (Λ^{T})_{ρ}^{μ} η_{μ v} Λ^{v}_{σ} = η_{ρ σ}, \end{matrix}$ $\Lambda^T\eta\Lambda ~=~ \eta \quad\iff\quad (\Lambda^T)_{\rho}{}^{\mu}~\eta_{\mu \nu}~ \Lambda^{\nu}{}_{\sigma} ~=~ \eta_{\rho \sigma} ,\tag{1'}$ $\begin{matrix} (2') & (Λ^{T})_{v}^{μ} := Λ^{μ}_{v}, \end{matrix}$ $(\Lambda^T)_{\nu}{}^{\mu} ~:=~\Lambda^{\mu}{}_{\nu} ,\tag{2'}$ $\begin{matrix} (3') & Λ^{T} η Λ = η ⟺ Λ^{μ}_{ρ} η_{μ v} Λ^{v}_{σ} = η_{ρ σ} . \end{matrix}$ $\Lambda^T\eta\Lambda ~=~ \eta \quad\iff\quad \Lambda^{\mu}{}_{\rho}~\eta_{\mu \nu}~ \Lambda^{\nu}{}_{\sigma} ~=~ \eta_{\rho \sigma} .\tag{3'}$
Genauer gesagt: Let $V$ Sei $n$ -dimensional $\mathbb{R}$ -Vektorraum mit einer Basis $(e_{\mu})_{\mu=1, \ldots, n}$ . Lassen $V^{\ast}$ sei der duale Vektorraum mit der dualen Basis $(e^{\ast \nu})_{\nu=1, \ldots, n}$ . Lassen
$Λ = e_{μ} Λ^{μ}_{v} \otimes e^{* v} \in v \otimes v^{*} ≅ L (v; v)$ $\Lambda~=~e_{\mu}~ \Lambda^{\mu}{}_{\nu}\otimes e^{\ast \nu}~ \in~V\otimes V^{\ast}~\cong~{\cal L}(V;V)$ sei eine lineare Abbildung aus $V$ Zu $V$ . Rufen wir die Positionen der Indizes auf $\Lambda^{\mu}{}_{\nu}$ für die NW-SE-Konvention vgl. eine Kompassrose . Lassen $Λ^{T} = e^{* v} (Λ^{T})_{v}^{μ} \otimes e_{μ} \in v^{*} \otimes v ≅ L (v^{*}; v^{*})$ $\Lambda^T~=~e^{\ast \nu}~ (\Lambda^T)_{\nu}{}^{\mu}\otimes e_{\mu}~\in~V^{\ast}\otimes V~\cong~{\cal L}(V^{\ast};V^{\ast})$ sei die transponierte lineare Abbildung aus $V^{\ast}$ Zu $V^{\ast}$ . Beachten Sie, dass $(\Lambda^T)_{\nu}{}^{\mu}$ ist in der SW-NE-Konvention geschrieben. Lassen $η = e^{* μ} η_{μ v} ⊙ e^{* v} \in {S j M}^{2} v^{*} = v^{*} ⊙ v^{*}$ $\eta~=~e^{\ast \mu}~\eta_{\mu\nu}\odot e^{\ast \nu}~\in~{\rm Sym}^2V^{\ast}~=~V^{\ast}\odot V^{\ast}$ sei eine (unbestimmte) Metrik, dh ein invertierbares Element im symmetrisierten Tensorprodukt . Eine (pseudo-)orthogonale Karte $\Lambda$ erfüllt per definitionem $Λ^{T} η Λ = η .$ $\Lambda^T\eta\Lambda~=~\eta.$ Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

Hätten Sie dann nicht eine mehrdeutige Notation? Würdest du nicht verwenden ${\Lambda_\mu}^\nu$ für beziehen sich auf beide $\Lambda^T$ Und $\Lambda^{-1}$ ?
@falgenint: Danke für das Feedback. $\Lambda_{\mu}{}^{\nu}$ bezieht sich per definitionem nicht auf $(\Lambda^T)_{\mu}{}^{\nu}$ um Zweideutigkeiten zu vermeiden. Vielmehr verwenden wir die Metrik, um Indizes zu erhöhen und zu senken, also per Definition $\Lambda_{\mu}{}^{\nu}~:=~\eta_{\mu\rho}~\Lambda^{\rho}{}_{\sigma}~(\eta^{-1})^{\sigma\nu}$ , was zufällig gleich ist $((\Lambda^{-1})^T)_{\mu}{}^{\nu}$ Wenn $\Lambda$ ist (pseudo)orthogonal.
Es tut mir leid, ich habe einen Fehler gemacht. Ich wollte sagen: würdest du nicht verwenden ${\Lambda^\mu}_\nu$ für beziehen sich auf beide $\Lambda^T$ Und $\Lambda^{-1}$ ? Ich meine, wenn (mit (2')) das richtig ist: ${((\Lambda^{-1})^T)_{\mu}}^{\nu}={(\Lambda^{-1})^\nu}_\mu={\Lambda_\mu}^\nu$ es folgt ${((\Lambda^{-1})^T)_\mu}^{\nu}={((\Lambda^{T})^{-1})_\mu}^{\nu}$ und daraus können Sie das demonstrieren $\Lambda \Lambda^T=I$ mit $I$ die Identitätsmatrix. Ist das richtig?
Die letzte Gleichung stimmt nicht. Wenn man Indizes aus einer Tensorgleichung entfernt, sollte man den metrischen Tensor wieder einführen/zurücksetzen $\eta$ an einschlägigen Stellen.
Also das kann ich wohl nicht sagen $(\Lambda^{-1})^T=(\Lambda^T)^{-1}$ Obwohl ${((\Lambda^{-1})^T)_\mu}^{\nu}={((\Lambda^{T})^{-1})_\mu}^{\nu}$ ?
Ja, du kannst. Ihre beiden Gleichungen in Ihrem letzten Kommentar sind beide korrekt.
Dann wenn (von oben) $(\Lambda^{-1})^T=(\Lambda^T)^{-1}=\Lambda$ , Ihr könnt euch bewerben $\Lambda^T$ auf beiden Seiten des letzten Gleichheitszeichens, und Sie hätten $(\Lambda^T)^{-1} \Lambda^T = \Lambda \Lambda^T$ , aber der erste Teil ist die Identitätsmatrix ... würde das nicht heißen $\Lambda \Lambda^T = I$ ?
So, $(\Lambda^T)_{\nu}{}^{\mu}$ muss in der SW-NE-Konvention geschrieben werden, um mit der Art und Weise, wie die transponierte lineare Karte definiert ist, konsistent zu sein?

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