Eine Lorentz-Transformation zwischen zwei verschiedenen Koordinatensystemen ist gegeben durch:
Wo ist die Lorentz-Transformationsmatrix. Ich bin etwas verwirrt über die Reihenfolge der Indizes mit dieser Notation, deshalb schreiben wir anstatt oder . Gibt es eine explizite Konvention, welcher Index in der Reihenfolge von links nach rechts an erster Stelle steht? Ist anders als und wenn ja, wie stehen sie zueinander?
Was ist mit der Reihenfolge der Indizes von links nach rechts des allgemeinen Tensors? Gibt die Reihenfolge hier nur an, welche Position in der "N-dimensionalen Matrix" wir betrachten, dh der erste Index gibt die Zeile an, der zweite die Spalte, der dritte die "Tiefe" usw.?
Jede Hilfe bei der Klärung dieser Punkte wird sehr geschätzt.
Sie haben vielleicht bemerkt, dass dies eine Matrixgleichung ist, die kürzer geschrieben werden könnte als . Wenn Sie jedoch solche Gleichungen mit expliziten Indizes schreiben und über wiederholte Indizes summieren, benötigen Sie einen oben und einen unten, oder Sie verbinden sie mit einem metrischen Tensor, nämlich. .
Bevor Sie sich mit der Relativitätstheorie befassen, sind Sie mit einer analogen Berechnung vertraut, bei der die Metrik euklidisch ist, der Metriktensor also nur die Identitätsmatrix ist. Aber außerhalb dieses Zusammenhangs müssen Sie sehr sorgfältig darüber nachdenken, welche Indizes oben sind.
Sie müssen auch sehr sorgfältig darüber nachdenken, wie Sie Indexerhöhungen/-senkungen auf nicht symmetrischen Matrizen bezeichnen. Ab , wenn ich einen Index erhöhe, aber nicht den anderen, den ich bekommen kann oder . Verwechseln Sie die beiden nicht!