Tensorindex in der speziellen Relativitätstheorie?

Hier$\Lambda^\mu{}_\alpha\Lambda_\mu{}^\beta$Matrizenmultiplikation darstellen. Aber bei der Matrixmultiplikation sollten Elemente in einer Reihe mit Elementen in einer Spalte multipliziert und addiert werden. Hier stellt die Indexnotation dar, dass jedes Element einer Spalte der ersten Matrix mit den entsprechenden Elementen in einer anderen Spalte der zweiten Matrix multipliziert und addiert wird, was bedeutet, dass zwei Matrizen multipliziert werden, indem die erste Matrix transponiert wird. Die Transponierte der ersten Matrix ist$(\Lambda^\mu{}_\alpha)^T= \Lambda_\alpha{}^\mu.$Dann wird es durch Indexlöschung$\Lambda_\alpha{}^\mu\Lambda_\mu{}^\beta=g_\alpha{}^\beta.$Somit ist das offensichtlich$\alpha$repräsentieren Zeile und$\beta$Spalte darstellen.

Sie können überprüfen, ob diese Formeln zufriedenstellend sind$\Lambda_\mu^{\:\nu}=\eta_{\mu\rho}\eta^{\nu\sigma}\Lambda_{\:\sigma}^\rho$, sodass die Gleichung, nach der Sie fragen, umgeschrieben werden kann als$\delta_\alpha^\beta=\Lambda^\mu_{\:\alpha}\eta_{\mu\rho}\eta^{\beta\sigma}\Lambda^{\:\rho}_\sigma$, die nur die erste Version der Lorentz-Transformation verwendet. Sie könnten auf ähnliche Weise dazu wechseln, nur die zweite Visualisierung zu verwenden.$\Lambda^\mu_{\:\nu}=\eta^{\mu\rho}\eta_{\nu\sigma}\Lambda_\rho^{\:\sigma}$. Die beiden Konvertierungen sind äquivalent, weil