Lorentz-Gruppen-Generatoren: Zwei Methoden

Question

Lorentz-Gruppen-Generatoren: Zwei Methoden

klgklm

Mitglieder der Lorentz-Gruppe gehorchen

η = Λ^{T} η Λ

$\eta=\Lambda^{T}\eta\Lambda$ Wo

η = diag (1, - 1, - 1, - 1)

$\eta=\textrm{diag}(1,-1,-1,-1)$ ist die Minkowski-Metrik.

Zuerst in Matrixform schreiben

Λ = ICH + T

$\Lambda=I+T$ Wo

T

$T$ ist ein infinitesimaler Generator. Die obige Bedingung impliziert, dies zuerst zu bestellen

T = - η T^{T} η

$T=-\eta T^{T}\eta$ und so

T

$T$ ist antisymmetrisch in den Raum-Raum- und Zeit-Zeit-Komponenten und symmetrisch in den Raum-Zeit-Komponenten.

Als nächstes in Indexform schreiben

Λ_{v}^{μ} = δ_{v}^{μ} + ω_{v}^{μ}

$\Lambda^{\mu}_{\,\,\nu}=\delta^{\mu}_{\,\,\nu}+\omega^{\mu}_{\,\,\nu}$ Die Komponentenversion der Definitionsgleichung impliziert dann, dass in erster Ordnung

ω_{v}^{μ} = - ω_{v}^{μ}

$\omega^{\mu}_{\,\,\nu}=-\omega^{\,\,\mu}_{\nu}$ und daher sind die Generatoren vollständig antisymmetrisch.

Soweit ich das beurteilen kann, $\omega^{\mu}_{\,\,\nu}$ ist nur die Indexform von $T$ . Daher bin ich etwas verwirrt darüber, warum sie unterschiedlichen Bedingungen zu gehorchen scheinen. Könnte jemand bitte helfen?

QMechaniker

Hinweis: Denken Sie an die Notation

ω_{ν}^{μ}

$\omega_{\nu}{}^{\mu}$ (im Gegensatz zu

ω^{μ}_{ν}

$\omega^{\mu}{}_{\nu}$ ) ist in der letzten Gleichung definiert.

Prahar

T^{μ}_{ν} = - (η T^{T} η)^{μ}_{ν} = - η^{μ α} (T^{T})_{α}^{β} η_{β ν} = - η^{μ α} T^{β}_{α} η_{β ν} = - T_{ν}^{μ}

$T^\mu{}_\nu = - ( \eta T^T \eta)^\mu{}_\nu = - \eta^{\mu\alpha} (T^T)_{\alpha}{}^\beta \eta_{\beta\nu} = - \eta^{\mu\alpha} T^\beta{}_\alpha \eta_{\beta\nu} = - T_\nu{}^\mu$ das ist das gleiche wie die Bedingung an

ω

$\omega$ .

klgklm

@Prahar Warum ist die Verwendung in dieser Ableitung akzeptabel?

(T^{T})_{α}^{β} = T_{α}^{β}

$(T^{T})_{\alpha}^{\,\,\beta}=T^{\beta}_{\,\,\,\alpha}$ in der dritten Gleichheit, aber nicht akzeptabel zu verwenden

ω_{ν}^{μ} = (ω^{T})_{ν}^{μ}

$\omega^{\mu}_{\,\,\nu}=(\omega^{T})_{\nu}^{\,\,\mu}$ das zu argumentieren

ω^{T} = - ω

$\omega^{T}=-\omega$ ? Offensichtlich missverstehe ich etwas ganz Grundlegendes, also wäre es gut, dies zu verstehen.

schrulligquark

Kann mir jemand sagen, wie wir herleiten

η = Λ^{T} η Λ

$\eta=\Lambda^{T}\eta\Lambda$ ?

Silas

@klgklm durch Transponieren tauschen Sie den doppelten Abstand und den Abstand aus, was bedeutet, dass die Transponierung einen oberen Index rechts und einen unteren Index links hat.

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Lorentz-Gruppen-Generatoren: Zwei Methoden

Hinweis: Denken Sie an die Notation $\omega_{\nu}{}^{\mu}$ (im Gegensatz zu $\omega^{\mu}{}_{\nu}$ ) ist in der letzten Gleichung definiert.
$T^\mu{}_\nu = - ( \eta T^T \eta)^\mu{}_\nu = - \eta^{\mu\alpha} (T^T)_{\alpha}{}^\beta \eta_{\beta\nu} = - \eta^{\mu\alpha} T^\beta{}_\alpha \eta_{\beta\nu} = - T_\nu{}^\mu$ das ist das gleiche wie die Bedingung an $\omega$ .
@Prahar Warum ist die Verwendung in dieser Ableitung akzeptabel? $(T^{T})_{\alpha}^{\,\,\beta}=T^{\beta}_{\,\,\,\alpha}$ in der dritten Gleichheit, aber nicht akzeptabel zu verwenden $\omega^{\mu}_{\,\,\nu}=(\omega^{T})_{\nu}^{\,\,\mu}$ das zu argumentieren $\omega^{T}=-\omega$ ? Offensichtlich missverstehe ich etwas ganz Grundlegendes, also wäre es gut, dies zu verstehen.
Kann mir jemand sagen, wie wir herleiten $\eta=\Lambda^{T}\eta\Lambda$ ?
@klgklm durch Transponieren tauschen Sie den doppelten Abstand und den Abstand aus, was bedeutet, dass die Transponierung einen oberen Index rechts und einen unteren Index links hat.

Noix07 · Answer 1

Der dritte Kommentar hat mich tatsächlich verwirrt ... Die erste Gleichung in Komponentenform lautet

Λ^{μ}_{a} η_{μ v} Λ^{v}_{β} = η_{a β}

$\Lambda^{\mu}{}_{\alpha}\, \eta_{\mu\nu}\, \Lambda^{\nu}{}_{\beta} = \eta_{\alpha\beta}$ so dass mit der Erweiterung in der Nähe der Identität:

(δ^{μ}_{a} + ω^{μ}_{a}) η_{μ v} (δ^{v}_{β} + ω^{v}_{β}) + Ö (ω) = η_{a β} + ω^{μ}_{a} η_{μ β} + η_{a v} ω^{v}_{β} + Ö (ω) = η_{a β}

$(\delta^{\mu}{}_{\alpha} + \omega^{\mu}{}_{\alpha})\, \eta_{\mu\nu}\, (\delta^{\nu}{}_{\beta} + \omega^{\nu}{}_{\beta}) + o(\omega) = \eta_{\alpha\beta} + \omega^{\mu}{}_{\alpha}\, \eta_{\mu\beta} + \eta_{\alpha\nu}\, \omega^{\nu}{}_{\beta} + o(\omega) = \eta_{\alpha\beta}$

⟹ ω^{μ}_{a} η_{μ β} = - η_{a v} ω^{v}_{β} ⟺ ω_{β a} = - ω_{a β}

$\Longrightarrow\quad \omega^{\mu}{}_{\alpha}\, \eta_{\mu\beta} = - \eta_{\alpha\nu}\, \omega^{\nu}{}_{\beta} \quad \Longleftrightarrow\quad \omega_{\beta\alpha} = - \omega_{\alpha\beta}$ oder auch

ω^{γ}_{a} = - η_{a v} ω^{v}_{β} η^{β γ} =: - ω_{a}^{γ} (E Q)

$\omega^{\gamma}{}_{\alpha} = - \eta_{\alpha\nu}\, \omega^{\nu}{}_{\beta}\, \eta^{\beta\gamma} =: -\omega_{\alpha}{}^{\gamma} \qquad (Eq)$

Lassen $M$ sei eine Matrix mit Komponente $M^i{}_j$ an der Linie $i$ und Spalte $j$ .

Inkonsistente Notation (M^{T})^{ich}_{J} := M^{J}_{ich}

$\textbf{Inconsistent notation}\qquad (M^T)^i{}_j := M^j{}_i$ Man muss die Transposition als "duale" Karte verstehen:

M : E \to F

$M: E\rightarrow F$ Dann

M^{T} : F^{*} \to E^{*}, λ \mapsto λ \circ M

$M^T: F^* \rightarrow E^*,\ \lambda \mapsto \lambda \circ M$ .

Nun lass $(\mathbf{e}_1,\cdots, \mathbf{e}_n)$ Grundlage sein $E$ Und $(\boldsymbol{\epsilon}^1,\cdots, \boldsymbol{\epsilon}^n)$ sein dual-in $E^*$ . Ein Vektor $\mathbf{x}\in E$ , bzw. $\boldsymbol{\varphi}\in E^*$ zerfällt als

X = X^{μ} e_{μ} Und φ = φ_{v} ϵ^{v}

$\mathbf{x}= x^{\mu}\, \mathbf{e}_{\mu}\quad \text{and}\quad \boldsymbol{\varphi} = \varphi_{\nu}\, \boldsymbol{\epsilon}^{\nu}$

Das motiviert

(M^{T})_{ich}^{J} := M^{J}_{ich}

$(M^T)_i{}^j := M^j{}_i$ Dies ist der Koeffizient der Linie

i

$i$ Spalte

j

$j$ von

M^{T}

$M^T$ Matrix von

M^{T} : F^{*} \to E^{*}

$M^T: F^* \rightarrow E^*$ bzgl. der Domäne und des Ziels.

Es scheint also, dass das, was Sie im Kommentar geschrieben haben, als Gleichheit der Karten gilt $F^*$ Zu $E^*$ (Ich unterscheide absichtlich Domain und Ziel, denn wenn man sagt $\mathbf{R}^4$ dann ... Abbildung definiert durch (Eq))

Was noch zu verstehen ist: $\eta_{\mu\nu}$ als Matrixkomponente einer Karte $\eta: E \rightarrow E^*$ wrt eine Basis in der Domäne und ihr Dual im Zielraum.

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Silas

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