(12,12)(12,12)(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) Darstellung von SU(2)⊗SU(2)SU(2)⊗SU(2)SU (2)\otimes SU(2)

I) Zunächst sprechen wir vom direkten oder kartesischen Produkt$SU(2)\times SU(2)$von Gruppen, nicht das Tensorprodukt$^1$ $SU(2)\otimes SU(2)$von Gruppen.

II) Zweitens,$SU(2)\times SU(2)$ist nicht isomorph zur Lorentzgruppe$SO(3,1)$sondern zu einem kompakten Cousin

Insbesondere ein$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$irrep unter$su(2)\oplus su(2)$entspricht einer 4-dimensionalen fundamentalen Vektordarstellung unter$o(4)$.

III) Drittens könnte OP an die komplexe Lorentz-Gruppe denken$SO(3,1;\mathbb{C})$, die eine doppelte Abdeckung hat$SL(2,\mathbb{C})\times SL(2,\mathbb{C})$,

vgl. dieser Phys.SE-Beitrag. Insbesondere ein$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$irrep unter$sl(2,\mathbb{C})\oplus sl(2,\mathbb{C})$entspricht einer 4-dimensionalen fundamentalen Vektordarstellung unter$o(3,1;\mathbb{C})$.

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$^1$Beachten Sie, dass es verschiedene abelsche und nicht-abelsche Tensorproduktkonstruktionen für Gruppen gibt. ZB für die Abelsche Gruppe$(\mathbb{R}^n,+)$, das Tensorprodukt ist$\mathbb{R}^n\otimes\mathbb{R}^m\cong \mathbb{R}^{nm}$, während das kartesische Produkt ist$\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m\cong \mathbb{R}^{n+m}$.

Das Problem liegt hier in der Identifizierung der$(A,B)$Werte einer Darstellung mit Spin.$A$und$B$entsprechen nicht dem Spin (sie sind nicht einmal hermitesch!), sie gehorchen nur zufällig$SU(2)$Lügenalgebren, und als solche addieren sie sich genauso wie Spins. Wenn wir das sagen$A_\mu,J_\mu,p_\mu,...$sind alle im$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$Darstellung der Lorentzgruppe meinen wir, dass sie sich als Vierervektor transformieren, das ist alles. Die Leute mögen faul werden und sagen, dass sie Spin-1-Objekte sind, aber was sie wirklich meinen, ist$(A,B)$Drehe 1 Objekte.