Wie lautet die Matrixdarstellung des Impulsoperators (Übersetzungsgenerator), der in den Kommutatoren der Poincaré-Gruppe verwendet wird?

Die Boost-Generatoren sind

Beachten Sie zunächst, dass Sie eine bestimmte Darstellung von Lie-Algebra-Generatoren der Poincare-Gruppe gewählt haben, bei der es sich um eine vektorähnliche Matrixdarstellung handelt. Es gibt im Allgemeinen viele Darstellungen (unten werde ich darüber schreiben).

In Ihrer Frage haben Sie die Matrixdarstellung von Poincare-Gruppen-Algebra-Generatoren im pseudo-euklidischen Raum gewählt. Die Übersetzungstransformation ist

$$x_{a}\to x_{a}+b_{a}$$ Beachten Sie, dass es sich nicht um eine lineare Transformation in der Minkowski-Raumzeit handelt, sodass sie nicht in Form von Matrizen dargestellt werden kann.

Sie kann jedoch linear gemacht werden, wenn wir die Minkowski-Raumzeit in eine fiktive 5-dimensionale Raumzeit mit zusätzlichen Koordinaten einbetten$x_{5}$. Dann liegen Poincaré-Gruppentransformationen jetzt in Matrixform vor: mit$x = x_{\mu}, a = a_{\mu}, \Lambda = \Lambda_{\mu\nu}$wir haben

$$\begin{pmatrix} x{'} \\ x_{5}{'} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \Lambda & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ x_{5}\end{pmatrix}$$ Jetzt können Sie eine Matrixdarstellung des Übersetzungsoperators erhalten. Versuchen Sie, das zu tun.

Was die unterschiedliche Darstellung betrifft, so ist es möglich, Generatoren in Form von Differentialoperatoren darzustellen. Nämlich für die Gruppentransformation

$$x_{\alpha} = f_{\alpha}(a,x)$$ entsprechenden Differentialoperator $\hat{X}$Ist $$\hat{X}_{i} = \left(\frac{df^{\alpha}(x, a)}{da_{i}}\right)_{a = 0}\partial_{\alpha}$$ Wie gezeigt werden kann, bewahren diese Generatoren die Lie-Gruppen-Algebra. In Bezug auf diese Betreiber, Generatoren der Poincare-Gruppe $J_{\mu\nu},P_{\mu}$Sind $$\hat{P}_{\mu} = i\partial_{\mu},\quad \hat{J}_{\mu\nu} = i(x_{\mu}\partial_{\nu} - x_{\nu}\partial_{\mu})$$ (eine Bearbeitung)

Auf welches Objekt wirken sie, die Wellenfunktion?

Diese Ausdrücke werden von Generatoren abgeleitet, die Sie aus der Definition von Poincare-Gruppentransformationen gewöhnlicher 4-Vektoren erhalten haben. Die Generatoren für "Wellenfunktions" -Transformationen zu bekommen, ist eine ganz andere Geschichte.

Nehmen wir kurz an, Sie haben die Welt mit Poincaré-Symmetrie. Auf der Ebene der Quantenmechanik bedeutet dies, dass der Betrag des Skalarprodukts$\langle \kappa |\psi\rangle$von Staaten$|\kappa\rangle |\psi\rangle$des Systems ist unter Poincare-Gruppentransformationen invariant$|\psi\rangle \to |\psi'\rangle , \ |\kappa\rangle \to |\kappa'\rangle$:

$$|\langle \psi |\kappa \rangle|^{2} = |\langle \psi{'} |\kappa{'} \rangle|^{2}$$ Nach dem Wigner-Theorem bedeutet dies, dass Poincare-Gruppentransformationen linear und einheitlich realisiert werden (der Einfachheit halber habe ich hier die Diskussion über den antilinearen anti-einheitlichen Fall weggelassen): $$|\psi{'}\rangle = U(\Lambda , a)|\psi\rangle$$ $$U(\Lambda , a) = \text{id} + ia^{\mu}\hat{P}_{\mu} + \frac{i}{2}\omega^{\mu \nu}\hat{J}_{\mu \nu},$$ Wo $\omega_{\mu \nu}, a_{\mu}$sind Parameter der Poincare-Gruppentransformation, während hermitesche Operatoren $\hat{P}_{\mu}, \hat{J}_{\mu \nu}$werden als Poincare-Gruppengeneratoren bezeichnet.

Beachten Sie, dass ihre explizite Form im Allgemeinen von der Repräsentation abhängt. Im Allgemeinen z$|\psi \rangle$irreduzible Darstellung der Poincare-Gruppe ist,$|\psi\rangle = |p, \sigma\rangle$(mit$p$Schwung sein und$\sigma$ist das Etikett der sogenannten kleinen Gruppe von$p$), können wir folgende Korrespondenz verwenden

$$|\psi\rangle \to \hat{a}^{\dagger}_{\sigma} \to \hat{\Psi}_{A},$$ Wo $\hat{a}^{\dagger}_{\sigma}(\mathbf p)$ist der Erstellungsoperator des Zustands mit gegebenem Impuls $p$und Spinprojektion (Helizität) $\sigma$, $\hat{\Psi}_{A}$ist das Schöpfungs-Zerstörungs-Feld mit (allgemein) Spinor-Indizes $A$(es kann ein 4-Vektor-Operator, ein Dirac-Spinor-Operator usw. sein). Die Anzahl und Struktur der Indizes und damit das Transformationsgesetz des Feldes unter der Lorentz-Gruppe werden aus dem Wert des Spins (Helizität) der Darstellung bestimmt. Allgemein, $$\hat{J}_{\mu \nu} = i(x_{\mu}\partial_{\nu} - x_{\nu}\partial_{\mu}) + \hat{M}_{\mu \nu},$$ Wo $\hat{M}_{\mu \nu} = (M_{\mu \nu})_{A}^{\ B}$ist die Matrix von Generatoren einer gegebenen endlichdimensionalen Darstellung der Lorentz-Gruppe. Dies bestimmt das Transformationsgesetz der "Wellenfunktion" $\hat{\Psi}$(genau, die Transformation von Koeffizienten in der Nähe $\hat{a}$, $\hat{a}^{\dagger}$beim Ausbau von $\hat{\Psi}$).

Der$\hat{P}$ist offensichtlich der lineare Impulsoperator mit$\hbar = 1$, aber was sind die$\hat{J}$'S?

$\hat{P}_{\mu}$heißt 4-Momentum-Operator, während$\hat{J}_{\mu \nu}$heißt Drehimpulsoperator. Der Grund dafür ist, dass sie häufig aus klassischen Spannungsenergie- und Drehimpulstensoren (die aus dem Noether-Theorem erhalten werden) unter Verwendung von Korrespondenzregeln erhalten werden können. Entsprechend,$\hat{J}_{i} = \frac{1}{2}\epsilon_{ijk}\hat{J}^{jk}$heißt Drehimpulsoperator, während$\hat{K}^{i} = -\hat{J}^{0i}$heißt Boost-Operator. Im klassischen Limit$\hat{K}^{i}$ist dem Vektor des Energiezentrums zugeordnet. Dies kann durch die Verwendung von Differentialoperatoren für die 4-Vektor-Darstellung der Poincare-Gruppe gesehen werden.