Warum sagen wir, dass die irreduzible Darstellung der Poincare-Gruppe den Ein-Teilchen-Zustand darstellt?

Beachten Sie zunächst, dass wir in der Physik einheitliche Darstellungen betrachten$U$der Poincare-Gruppe, die auf dem Hilbert-Raum wirkt$\mathcal H$der Theorie, weil wir an einer präzisen Formulierung des Konzepts der Poincaré-Transformationen interessiert sind, die auf die quantenmechanischen Zustände der Theorie als Symmetrien wirken (da die Gesetze der Physik trägheitssysteminvariant sein sollten); und nach dem Satz von Wigner wählen wir diese Symmetrien so, dass sie durch einheitliche Operatoren realisiert werden. Diese Beobachtungen beziehen sich auf Ihre Nr. 1 und Nr. 3, und ich denke, sie sollten konzeptionell von der Vorstellung eines Zustands getrennt gehalten werden, der einen Zustand eines einzelnen Teilchens darstellt.

Zweitens, da solche Quantenfeldtheorien die Entstehung von Teilchenzuständen ermöglichen sollen und insbesondere Zustände berücksichtigen sollten, in denen es ein einzelnes Elementarteilchen gibt, erwarten wir, dass es eine Teilmenge gibt$\mathcal H_1$des Hilbert-Raums der Theorie, die Zuständen entspricht, die ein einzelnes Elementarteilchen "enthalten".

Lassen Sie uns angesichts dieser Beobachtungen Ihre Frage wie folgt umformulieren:

Welche Eigenschaften erwarten wir, dass die Aktion der Darstellung$U$haben wird, wenn seine Domäne auf den Unterraum beschränkt ist$\mathcal H_1$?

Insbesondere möchten wir die folgende Aussage begründen

Die Beschränkung der einheitlichen Vertretung$U$Einwirken auf$\mathcal H$zum Einteilchen-Unterraum$\mathcal H_1$ist eine irreduzible Darstellung der Poincare-Gruppe, auf die sie wirkt$\mathcal H_1$.

Dazu müssen zwei Dinge begründet werden:

1. Die Restriktionskarten$\mathcal H_1$in sich.
2. Die Einschränkung ist irreduzibel.

Ich denke, dass die Begründung der ersten Eigenschaft ziemlich intuitiv ist. Wenn wir nur eine Poincaré-Transformation auf den Zustand des Systems anwenden, nämlich nur Rahmen ändern, dann sollte sich die Anzahl der Teilchen im Zustand nicht ändern. Es wäre ziemlich seltsam, wenn Sie zum Beispiel von einem Inertialsystem in ein anderes beschleunigen oder rotieren würden und feststellen würden, dass sich plötzlich mehr Teilchen in unserem System befinden.

Die Irredizibilitätsanforderung bedeutet, dass der einzige invariante Unterraum der Einzelteilchen-Unterraum ist$\mathcal H_1$ist selbst und$\{0\}$. Die physikalische Intuition hier ist, dass, da wir einen Unterraum des Hilbert-Raums betrachten, in dem sich ein einzelnes Elementarteilchen befindet, zu erwarten ist, dass es keinen nicht-trivialen Unterraum von gibt$\mathcal H_1$bei dem Vektoren dieses Unterraums einfach ineinander "rotiert" werden. Wenn dies der Fall wäre, wäre das Teilchen nicht "elementar" in dem Sinne, dass der nicht-triviale invariante Unterraum die Zustände eines "elementareren" Teilchens darstellen würde. Im Grunde genommen bin ich mir jedoch nicht sicher, ob es eine grundlegendere Rechtfertigung für die Einschränkung von gibt$U$zu$\mathcal H_1$ist abgesehen von der jahrzehntelangen Erfahrung, die wir jetzt mit Teilchenphysik und Quantenfeldtheorie haben, nicht reduzierbar.

Die irreduziblen Darstellungen der Poincaré-Gruppe sind mit Masse gekennzeichnet$m$und die Drehung$s$[dies entspricht Casimir-Invarianten$m^2$und$m^2s(s+1))$, so entspricht es natürlich$1$-Teilchenrelativistische Zustände.

Die Zustände, die einer Repräsentation entsprechen$m, s$sind beschriftet$|p,\lambda \rangle$, mit$p^2=m^2$und$-s \leq \lambda \leq s$, und es entspricht auch hier$1$Partikel.

Für Mehrteilchenzustände (Fock-Zustände) haben wir symmetrische oder antisymmetrische Tensorprodukte dieser Zustände, zum Beispiel a$2$-Teilchen-Bosonischer Zustand kann geschrieben werden:

Es ist klar, dass diese Mehrteilchendarstellungen nicht mehr irreduzibel sind (weil sie eine Produktsumme von irreduziblen Darstellungen sind).

Die Unitarität hat darauf keinen Einfluss, Fock sagt, das entspreche einer einheitlichen Darstellung.