Unitäre irreduzible Darstellungen der kleinen Gruppe SO(3)SO(3)SO(3)

Ich arbeite mich derzeit durch die Methode der induzierten Darstellungen, um die unitären irreduziblen Darstellungen der Poincare-Gruppe zu berechnen.

Konventionen/Notation

Metrische Signatur$= (-,+,+,+)$

$c=\hbar=1$

Die Indizes i,j,k laufen über 1,2,3, während alle anderen lateinischen Indizes über 0,1,2,3 laufen.

$x^a=(t, \vec{x})$

Kontext

In diesem Thread werde ich den (positiv definiten) Nicht-Null-Massenfall betrachten. Ich nehme den Standardschwung zu sein$k^a=(m,0,0,0)$wobei m die Quadratwurzel des Eigenwerts des Casimir-Operators ist$C_1=-P^aP_a$. Die entsprechende kleine Gruppe ist$H_{k}=SO(3)$.

Der zweite Casimir-Operator ist das Quadrat des Pauli-Lubanski-Vektors;$C_2=W^aW_a$. Für den Standardimpuls gilt$W^a=(0,mJ^i)$Wo$J^i$ist der i-te Rotationsgenerator (dh um die i-te Raumachse). Daher,$C_2=m^2\vec{J}\cdot\vec{J}$. Aus QM kennen wir die Eigenwerte von$J^2$Sind$s(s+1)$. Nach Schurs Lemma gilt also bei jedem Irrep der Poincare-Gruppe:$C_2=m^2s(s+1)\text{Id}$. Id ist der Identitätsoperator ... \mathbb{1} funktioniert nicht.

Wenn ich also einen Wert für m festlege (und damit die Massenschalenoberfläche festlege), dann werden die unitären Irreps der Poincare-Gruppe (für dieses m) durch den 'Spin' s klassifiziert.

In diesem Fall kann die Methode der induzierten Wiederholungen wie folgt ausgedrückt werden:

Also wie die homogene Lorentz-Transformation zu erarbeiten$U(\Lambda)$wirkt auf den Staat$|p,\sigma\rangle$, müssen wir die einheitlichen Irreps der kleinen Gruppe ausarbeiten.

Per Konvention nehme ich die Standard-Lorentz-Transformation,$L(p)$, sein

Frage/Lösungsversuch

Leider haben wir in meinem nicht-relativistischen QM-Kurs während des Studiums nie über die Spindarstellungen der Rotationsgruppe gesprochen$SO(3)$, also versuche ich jetzt, diese Lücke zu schließen. Ich bin ein wenig verwirrt darüber, wie wir den einheitlichen Irreps konstruieren$SO(3)$, insbesondere bin ich mir nicht sicher, wie ich die Matrixelemente berechnen soll$\mathcal{D}^{(s)}(h(\Lambda,\sigma))_{\sigma'\sigma}$. Dies ist meine Frage, und das Folgende ist, was ich bisher habe.

Bei dem Versuch, das, was ich im Grundstudium QM gelernt habe, mit dem oben Gelernten zu übersetzen, bin ich zu folgenden Schlussfolgerungen gekommen:

• Für den massiven Fall (und für den Standardimpuls, damit wir im Ruherahmen sind), die$\sigma$(die andere Freiheitsgrade als den 4-Impuls darstellen sollen) entsprechen der "magnetischen Quantenzahl",$m_j$.
• Für einen gegebenen Spin s,$\sigma=m_j = \{-s,-s+1,..,s-1,s\}$. Hier nehme ich$j=l+s=s$da wir uns im Ruhesystem befinden und kein 'Bahndrehimpuls' ($l=0$). Daher ist für eine gegebene Masse m die Dimension des Irrep der kleinen Gruppe$2s+1$.

Definiere den 3-Vektor$S^i=\frac{1}{m}W^i=\frac{1}{2}\varepsilon_{ijk}J^{jk} \implies \vec{S}\cdot\vec{S}=s(s+1)\text{Id}$was der folgenden Algebra gehorcht:

Auf die übliche Weise können wir das ausrechnen:

Nach Weinberg gilt für eine infinitesimale Drehung$R_{ik}=\delta_{ik}+\Theta_{ik}$, wir haben das

Um eine Darstellung einer endlichen Drehung zu erhalten, müssen wir den infinitesimalen Fall potenzieren:

Wir können also die unitären Darstellungen der kleinen Gruppe berechnen$SO(3)$von:

Wir können dies explizit berechnen, indem wir die Gleichungen (2) und (3) verwenden, und daher ist die Größe der Matrix D für ein festes s (2s+1)(2s+1).

Ich denke, was ich bisher gesagt habe, ist größtenteils richtig (aber ich hätte gerne eine Bestätigung). Wenn das, was ich gesagt habe, tatsächlich richtig ist, dann habe ich das Problem, dass ich nicht weiß, wie man dazwischen übersetzt$\mathcal{D}^{(s)}(h(\Lambda,p))_{\sigma'\sigma}$Und$\mathcal{D}^{(s)}(R(\vec{\theta}))_{\sigma'\sigma}$. Zum Beispiel, gegeben (4), wie kann ich die entsprechenden Matrixelemente von berechnen$\mathcal{D}^{(s)}(h(\Lambda,p))_{\sigma'\sigma}$? Ich weiß, dass es eine Beziehung geben muss, weil sie beide nur Drehungen sind. Daher kann ich darauf schließen$\vec{\theta}=\vec{\theta}(\Lambda,p)$. Aber es scheint, dass die Standardmethode zur Berechnung der gewünschten Matrixelemente darin besteht, die Standard-Lorentz-Transformationen zu verwenden, die ich im Kontextabschnitt bereitgestellt habe ... aber für mich scheint dies nur nützlich zu sein, wenn wir eine explizite Methode zur Berechnung der Elemente haben der Vertretung von$h(\Lambda,p)$, wie Gleichung (4). Gibt es so einen expliziten Ausdruck? Beifall.