Nicht reduzierbare Darstellungen der Lorentz-Gruppe

Für die Poincaré-Algebra gibt es (soweit ich weiß) zwei verschiedene Ansätze, um ihre Darstellungen zu finden. Beim ersten Ansatz geht man von einer endlichdimensionalen Darstellung der (komplexisierten) Lorentz-Algebra aus und konstruiert mit ihrer Hilfe eine räumliche Darstellung einiger Körper im Minkowski-Raum. Die so erhaltene Darstellung ist normalerweise nicht irreduzibel, und eine irreduzible Darstellung wird daraus durch eine Differentialgleichung erhalten. ZB der Raum massiver Dirac-Felder, der die Dirac-Gleichung erfüllt, bildet eine irreduzible Darstellung der Poincaré-Gruppe (später hinzugefügt: letzte Aussage ist nicht ganz korrekt).

Ein anderer Ansatz besteht darin, eine (irreduzible, unitäre) Hilbert-Raum-Darstellung der Identitätskomponente der Poincaré-Algebra durch die sogenannte "Little-Group-Methode" zu finden. Dies tut Weinberg auf den Seiten 62-64 in Band 1 seines QFT-Buches. Die Idee dieses Ansatzes ist folgende --

Fixieren Sie im Impulsraum ein Hyperboloid$S_m=\{p|p^2=m^2,p_0 \geq 0\}$entsprechend einer gegebenen (nichtnegativen) Masse$m$. (Anmerkung: Hier verwende ich Signatur$(1,-1,-1,-1)$)

Wählen Sie ein 4-Impuls$k$an$S_m$. Lassen$G_k$sei die maximale Untergruppe von (der Identitätskomponente) der Lorentz-Gruppe, so dass$G_k$behebt$k$. dh für jede Lorentz-Transformation$\Lambda\in G_k$wir haben$\Lambda k=k$.$G_k$heißt kleine Gruppe entsprechend 4-Impuls$k$.

Lassen$V_k$sei eine feste endlichdimensionale irreduzible Darstellung von$G_k$(oder doppelte Abdeckung von$G_k$)$^{**}$. Legen Sie eine Basis dieses Vektorraums fest$|k,1\rangle,|k,2\rangle,\ldots,|k,n\rangle$wo$n$ist (komplexe) Dimension von$V_k${beachten Sie, dass$k$ist ein fester Vektor und keine Variable.}

Jetzt für jeden anderen$p\in S_m$einen Vektorraum einführen$V_p$die von der Basis aufgespannt wird$|p,1\rangle,|p,2\rangle,\ldots,|p,n\rangle\;.$

Die Hilbert-Raum-Darstellung (der Identitätskomponente von) der Poincaré-Gruppe wird nun durch Kleben dieser Vektorräume konstruiert$V_p$ist zusammen. Dies geschieht wie folgt: -

i) Definiere$H$direkte Summe von sein$V_p$'s.

ii) Für jeden$p\in S_m$Korrigieren Sie eine Lorentz-Transformation$L_p$das nimmt dich ab$k$zu$p$, dh$L_p(k)=p$. Legen Sie auch eine Nummer fest$N(p)$(Dies wird verwendet, um eine geeignete Normierung für die Basiszustände festzulegen). Nehmen Sie insbesondere$L_k=I$.

iii) Operator definieren$U(L_p)$korrespondierend zu$L_p$an$V_k$wie :-

$U(L_p)|k,\sigma\rangle =N(p)^{-1}|p,\sigma\rangle,\:\sigma=1,\ldots,n\tag1$

Dies definiert nur die Aktion von$L_p$ist auf Subraum$V_k$von$H$. Tatsächlich erstreckt sich diese Definition jedoch ausschließlich auf die Wirkung der gesamten (Identitätskomponente der) Poincaré-Gruppe auf die Gesamtheit$H$folgendermaßen --

Vermuten$\Lambda$JEDE Lorentz-Transformation in der Identitätskomponente der Lorentz-Gruppe sein, und$|p,\sigma\rangle$beliebiger Basiszustand sein. Dann (alle folgenden Schritte stammen aus Weinbergs Buch):

Nun beachte das$L_{\Lambda p}^{-1}.\Lambda.L_p$ist ein Element von$G_k${check it} und$V_k$ist irreduzible Darstellung von$G_k$. So$U(L_{\Lambda p}^{-1}.\Lambda.L_p)|k,\sigma\rangle$ist wieder drin$V_k$; und aus (1) wissen wir wie$U(L_{\Lambda p})$wirkt auf$V_k$; also wissen wir, was ist$U(\Lambda)|p,\sigma\rangle\;.$

Zusammenfassend besteht die Idee der Kleingruppenmethode darin, irreduzible Hilbert-Raumdarstellungen der Identitätskomponente der Poincare-Gruppe ausgehend von endlichdimensionalen irreduziblen Darstellungen der Kleingruppe zu konstruieren, die festen vier Impulsen entsprechen.

$^{**}$Wenn$V_k$ist keine richtige Darstellung von$G_k$sondern ist eine Darstellung des Doppeldeckels$\mathcal{G}_k$von$G_k$dann müssen wir auch einen Abschnitt angeben$G_k\to \mathcal{G}_k$der Deckkarte, damit wir wissen wie$G_k$wirkt auf$V_k$.

Bezüglich der Diskussion von Impuls-Eigenzuständen und der folgenden Herleitung in Weinbergs Buch,$\sigma$ist nur ein Etikett, das jeden Freiheitsgrad bezeichnet, der kein Impuls ist. Obwohl es mit Spin identifiziert werden kann, ist seine Natur für die vorliegende Diskussion nicht relevant.