Zweifel in Weinbergs Buch über die Quantenfeldtheorie

Sie haben Recht, dass nicht kompakte Gruppen keine endlichdimensionalen einheitlichen Darstellungen haben sollten. Aber die Generatoren$J^{\rho\sigma}$Und$P^\rho$wirken hier nicht auf einem endlichdimensionalen Vektorraum. Unter Verwendung der Weinberg-Notation wirken sie auf Zustände$|p,\sigma, n, \ldots\rangle$und besonders,$p$nimmt keine Werte in einer beschränkten Menge an, die Energien sind beliebig hoch (tatsächlich$J^{\rho\sigma}$steigern kann). Entsprechend kann man sich diese Operatoren in der Differentialform vorstellen$P^\rho = -\mathrm{i}\partial^\rho$Und$J^{\rho\sigma} = -\mathrm{i}(x^\rho \partial^\sigma - x^\sigma\partial^\rho)$. Auf jeden Fall würden sie handeln$C^\infty$Funktionen, die in einem unendlich dimensionalen Vektorraum leben.

Ihr Punkt könnte später angesprochen werden, wenn er masselose Darstellungen diskutiert. Tatsächlich steht die kleine Gruppe für eine masselose Darstellung$\mathrm{ISO}(2)$(wie Poincaré, aber in zwei Dimensionen). Da es nicht kompakt ist, erwarten wir, dass einheitliche Darstellungen unendlich dimensional sind, aber es ist nicht der Fall: Das Photon und das Graviton haben zwei Helizitäten! Das ist richtig, weil solche Darstellungen die Wirkung der Übersetzungsgeneratoren trivialisieren$\mathrm{ISO}(2)$(die übrigens nichts mit tatsächlichen vierdimensionalen Übersetzungen zu tun haben), wodurch es effektiv reduziert wird auf$\mathrm{SO}(2)$. Es besteht auch die Möglichkeit, solche zweidimensionalen Übersetzungen beizubehalten, und tatsächlich landen wir bei unendlich dimensionalen Darstellungen, die kontinuierliche Spindarstellungen genannt werden .