Gibt es endlichdimensionale irreduzible rep. der Poincare-Gruppe, wo Übersetzungen nicht trivial wirken?

Ich habe mehrere QFT-Lehrbücher gelesen und festgestellt, dass es zwei Möglichkeiten gibt, die Teilchen oder Felder zu klassifizieren. Die erste besteht darin, die irreduzible Darstellung der Lorentz-Gruppe (oder genau der universellen Bedeckungsgruppe) zu untersuchen S L ( 2 , C ) ). Dann finden wir irreduzible, aber nicht einheitliche Darstellung ( ich , J ) die endlichdimensional ist, und sie verwenden, um verschiedene Arten von Feldern darzustellen. Die zweite besteht darin, die einheitliche Darstellung der Poincare-Gruppe zu untersuchen, und wir können Partikel nach Masse und Spin klassifizieren.

Dann ist meine Frage:

  1. Warum untersuchen wir nicht die endlichdimensionale irreduzible Darstellung der Poincare-Gruppe wie der Lorentz-Gruppe? Einige Leute werden sagen, dass die nützliche Darstellung in der Quantenmechanik die einheitliche Darstellung ist und die Poincare-Gruppe, die nicht kompakt ist, keine endlichdimensionale einheitliche Darstellung hat. Dieses Argument ist jedoch nicht überzeugend, da es nicht erklären kann, warum wir immer noch die endliche Repräsentation der Lorentz-Gruppe untersuchen.

  2. Gibt es außer der „trivialen“ Rep. noch eine andere endlichdimensionale irreduzible Rep.? der Poincare-Gruppe? Hier bedeutet "trivial" die Wiederholung. die wir durch die Vergrößerung der ursprünglichen Rep erhalten können. der Lorentz-Gruppe, indem sie die Übersetzung trivial auf den ursprünglichen Repräsentationsraum einwirken lässt.

Zum Beispiel haben wir einen treuen Vertreter. der Poincare-Gruppe, ( Λ X 0 1 ) , Wo Λ ist Lorentz-Transformation und X ist Übersetzung. Dies ist eine reduzierbare, aber unzerlegbare Darstellung. Wir können immer eine irreduzible Wiederholung definieren. der Poincare-Gruppe von

F : ( Λ X 0 1 ) → D ( ich , J ) ( Λ )
Wo D ( ich , J ) ( Λ ) ist die irreduzible rep. der Lorentz-Gruppe. Gibt es also andere endlichdimensionale irreduzible Repräsentanten? der Poincare-Gruppe?

  1. Es scheint, dass wir den Repräsentanten der Lorentz-Gruppe verwenden. um die Felder zu klassifizieren und den Vertreter der Poincare-Gruppe zu verwenden. um die Teilchen zu klassifizieren. Da die Isometrie der Minkovski-Raumzeit die Poincare-Gruppe ist, warum verwenden wir nur die Darstellung der Lorentz-Gruppe. die Felder zu klassifizieren und nicht die ganze Poincare-Gruppe zu berücksichtigen?
Alle unitären irreduziblen Darstellungen der Lorentz-Gruppe sind unendlich dimensional. Das ist der Grund. Tatsächlich einheitliche Wiederholungen. der Poincaré-Gruppe werden im Allgemeinen nicht nur diejenigen der Lorentz-Gruppe untersucht, wenn der Begriff des Elementarteilchens im Sinne von Wigner definiert wird. Beim Umgang mit Feldern verhält sich der Translationsteil trivial und wird aus diesem Grund normalerweise nicht berücksichtigt, wenn Felder als Abschnitt auf einem Vektorbündel basierend auf der Raumzeit betrachtet werden.
@ValterMoretti Danke. ACuriousMind und Ihre Antwort haben die Frage 1,3 gelöst. Hast du eine Idee zu Frage 2?
Eigentlich nicht, haben Sie versucht, einen Blick in das Lehrbuch von Barut Raczac über Repräsentationen zu werfen?

Antworten (3)

Lassen ϕ : R 4 → v sei ein Körper mit (komplexem) Zielvektorraum v , Transformation in eine endlichdimensionale projektive Darstellung ρ Flosse : S Ö ( 1 , 3 ) → U ( v ) . Da es sich um ein Feld handelt, ist die Darstellung der Übersetzungen R 4 An v ist die triviale, da sich das Feld als transformiert ϕ ( X ) ↦ X ↦ X + A ϕ ( X + A ) . Daher transformiert sich das Feld in eine endlichdimensionale Darstellung σ Flosse der Poincaré-Gruppe, aber der nicht-triviale, dh interessante Teil ist die Darstellung der Lorentz-Gruppe. Daher ist Ihre Prämisse, dass wir "nur endlichdimensionale Darstellungen der Lorentz-Gruppe untersuchen", falsch, es ist nur so, dass die endlichdimensionalen Übersetzungen immer durch ihre triviale Darstellung dargestellt werden.

In der Quantenfeldtheorie wird das Feld nun operatorwertig und wirkt auf einen Hilbert-Raum H . Da die Quantenfeldtheorie Poincare-Symmetrie haben soll, muss es eine projektive einheitliche Darstellung geben σ U : S Ö ( 1 , 3 ) ⋉ R 4 → U ( H ) auf diesem Zustandsraum. Nach einem der Wightman-Axiome haben wir das

σ Flosse ( Λ , A ) ϕ ( Λ − 1 X − A ) = σ U ( Λ , A ) † ϕ ( X ) σ U ( Λ , A ) ∀ Λ ∈ S Ö ( 1 , 3 ) , A ∈ R 4
Wo auf der linken Seite, σ Flosse ist eine endlichdimensionale Matrix, die auf den Vektor einwirkt ( ϕ 1 , … , ϕ schwach ⁡ ( v ) ) , und auf der rechten Seite, die σ U sind Operatoren an H werden mit jedem Komponentenoperator multipliziert ϕ ich .

Aufgrund dieser Beziehung untersuchen wir die endlichdimensionalen Darstellungen – wir müssen die endlichdimensionalen Darstellungen kennen, um das „klassische“ Feld angeben zu können, und wir müssen die unendlichdimensionale einheitliche Darstellung kennen, um zu wissen, wie die Poincaré-Symmetrie wirkt auf Zuständen, und weil die irreduziblen einheitlichen Darstellungen Teilchen nach Wigners Klassifikation entsprechen . Da die Poincaré-Gruppe ebenso wenig kompakt ist wie die Lorentz-Gruppe, sind auch diese alle unendlichdimensional.

Danke. Nach Ihrer Antwort habe ich meine Frage 1,3 verstanden. Hast du eine Idee zu Frage 2?
@ user34669: Ich habe keine Ahnung, außer dass sie wahrscheinlich physikalisch irrelevant sind. Wir brauchen keine nichttrivialen endlichdimensionalen Darstellungen von Translationen, da die Körper immer trivial transformiert werden müssen.
Ja. wir brauchen diesen Fall in der Physik nicht zu betrachten. Die Frage 2 ist nur ein mathematisches Interesse.
@ACuriousMind Wieder einmal interessant und weist auf die entscheidende Tatsache hin, dass die Forderung nach Einheitlichkeit mit der Quantentheorie zu tun hat. Aber nochmal die Repräsentation σ Flosse der Übersetzung auf dem Feld ist offensichtlich unendlich dimensional!! (Es sei denn, mir fehlt ein Argument, das besagt, dass der Raum der Felder endlichdimensional ist ...)
@Noix07 v ist nicht der Raum der Felder, sondern der endlichdimensionale Zielraum der Felder. Sie haben Recht, dass es eine unendlich dimensionale Darstellung des Funktionsraums gibt, aber darüber spreche ich in dieser Antwort nicht
„Daher transformiert sich das Feld in eine endlichdimensionale Darstellung σ Flosse ": was wird transformiert? der Körper. In welchem ​​Raum? der Raum der Körper, dh der Funktionen. Also, da es nicht explizit erwähnt wurde, hat der Grund, warum man sich für einheitliche Darstellungen der Poincaré-Gruppe interessiert, mit dem Axiom zu tun der Quantenmechanik, die besagt, dass Zustände durch Strahlen beschrieben werden. Dann können durch Wigners Theorem projektive Darstellungen auf Strahlen zu wahren Darstellungen angehoben werden, entweder unitär oder antiunitär. Und schließlich für die verbundene Untergruppe von Poincaré, die die Identität enthält.
G ∈ P kann geschrieben werden als 𝑔 ' ⋅ 𝑔 ' = 𝑔 so dass die Darstellung einheitlich sein muss ( ρ ( G ) ist ein Quadrat = ρ ( G ' ) ∘ ρ ( G ' ) und kann nicht antiunitär sein). Ich war vielleicht etwas zu elliptisch in Bezug auf Wigners Theorem: Die Aktion muss Übergangswahrscheinlichkeiten bewahren.

Die Matrixrepräsentanten der Poincare-Gruppe können durch Lösen der Kommutierungsrelationen gefunden werden. Siehe arXiv:math-ph/0401002v3 2. Juli 2007 Eine Ableitung von Vektor- und Impulsmatrizen.

Zu Punkt 2: Diese Arbeit zeigt einige nicht-triviale endlichdimensionale Darstellungen der Poincaré-Algebra. Eine interessante Sache, die passiert, ist, dass wir nicht garantieren können, dass die Darstellungen entweder irreduzibel oder vollständig reduzierbar (oder zerlegbar) sind, da die Poincaré-Gruppe nicht kompakt und stetig ist. In der Tat befasst sich das Papier mit den Unzerlegbaren.

Gibt es endlichdimensionale irreduzible rep. der Poincare-Gruppe, wo Übersetzungen nicht trivial wirken?
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