Vektorräume für die irreduziblen Darstellungen der Lorentz-Gruppe

I) Darstellungstheorie für die Doppelhülle$SL(2,\mathbb{C})$der Eingeschränkten$^1$Lorentz-Gruppe$SO^+(1,3;\mathbb{R})$ist ein ziemlich breites Thema, das in vielen Lehrbüchern behandelt wird, siehe z. 1 für weitere Informationen.

Eine irreduzible Darstellung$^2$

$$(j_L,j_R)~=~j_L\otimes_{\mathbb{C}} j_R, \qquad j_L, j_R~\in~ \frac{1}{2}\mathbb{N}_0,\tag{1}$$

ist ein Tensorprodukt von$V=V_L\otimes_{\mathbb{C}} V_R$zweier komplexer Vektorräume$V_L$und$V_R$, von komplexer Dimension$2j_L+1$und$2j_R+1$, beziehungsweise. Das Tensorprodukt$V$ist wieder ein komplexer Vektorraum und hat eine komplexe Dimension$(2j_L+1)(2j_R+1)$. Siehe auch diesen Phys.SE-Beitrag.

Beispiele:

1. $(j_L,j_R)=(0,0)$. Dies ist die triviale/Singlet-Darstellung . Dann ist der Vektorraum$V\cong\mathbb{C}$. Beachten Sie, dass die triviale Darstellung$(0,0)$ist die multiplikative Identität für das Tensorprodukt$\otimes_{\mathbb{C}}$, dh

$$\forall V:~~(0,0)\otimes_{\mathbb{C}}V~\cong~ V~\cong~ V\otimes_{\mathbb{C}}(0,0).\tag{2}$$

2. $(j_L,j_R)=(\frac{1}{2},0)$. Dies ist als linkshändige Weyl-Spinor-Darstellung bekannt. Dann ist der Vektorraum$V\cong\mathbb{C}^2$. Es ist die grundlegende/definierende Darstellung von$SL(2,\mathbb{C})$.

3. $(j_L,j_R)=(0,\frac{1}{2})$. Dies ist als rechtshändige Weyl-Spinor-Darstellung bekannt. Es ist die komplex konjugierte Darstellung der linkshändigen Weyl-Spinor-Darstellung.

4. $(j_L,j_R)=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$. Dies ist isomorph zur Vektordarstellung der Lorentz-Gruppe.

5. Die Dirac-Spinor-Darstellung $(\frac{1}{2},0) \oplus (0,\frac{1}{2})$ist eine direkte Summe der links- und rechtshändigen Weyl-Spinor-Darstellung.

Mit Hilfe des symmetrischen Tensorprodukts lässt sich eine irreduzible Darstellung (1) schreiben $\odot$der linkshändigen und rechtshändigen Weyl-Spinor-Darstellung

$$(j_L,j_R)~=~(\frac{1}{2},0)^{\odot 2j_L} \otimes (0,\frac{1}{2})^{\odot 2j_R}$$ $$~:=~\underbrace{\left\{(\frac{1}{2},0)\odot\ldots\odot(\frac{1}{2},0)\right\}}_{2j_L\text{ symmetrized factors}} \otimes \underbrace{\left\{(0,\frac{1}{2})\odot\ldots\odot(0,\frac{1}{2})\right\}}_{2j_R\text{ symmetrized factors}} .\tag{3}$$

Hier$\otimes$bezeichnet das standardmäßige (unsymmetrisierte) Tensorprodukt .

II) Komplexierung. Die eingeschränkte Lorentz-Gruppe$SO^+(1,3;\mathbb{R})$ist offensichtlich eine Untergruppe des Komplexifizierten$^2$Lorentz-Gruppe$SO(1,3;\mathbb{C})$. Man kann zeigen, dass die doppelte Abdeckung der komplexierten Lorentz-Gruppe$SO(1,3;\mathbb{C})$ist isomorph zur direkten oder kartesischen Produktgruppe

$$G~=~SL(2,\mathbb{C})_L\times SL(2,\mathbb{C})_R,\tag{4}$$

vgl. zB Art.-Nr. 1 und diesen Phys.SE-Beitrag.

Genauer gesagt ist die irreduzible Darstellung (1) z$SL(2,\mathbb{C})$Aufzüge zu einer irreduziblen Darstellung

$$\rho~=~\rho_L\otimes \rho_R:G\to GL(V,\mathbb{C})\tag{5}$$

für das Produkt Lie-Gruppe (4) gegeben als

$$\rho(g_L,g_R)(\sum_iv^i_L\otimes v^i_R)~=~\sum_i\rho_L(g_L)v^i_L\otimes\rho_R(g_R)v^i_R ,\tag{6}$$

wo beides

$$\rho_{L/R}:SL(2,\mathbb{C})\to GL(V_{L/R},\mathbb{C})\tag{7}$$

sind irreduzible Darstellungen von$SL(2,\mathbb{C})$von komplexen Dimensionen$2j_{L/R}+1$.

Verweise:

1. IL Buchbinder und SM Kuzenko, Ideen und Methoden der Supersymmetrie und Supergravitation – oder ein Spaziergang durch den Superspace, 1998; Kapitel 1.

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$^1$Betrachten wir hier der Einfachheit halber die eingeschränkte Lorentz-Gruppe $SO^+(1,3;\mathbb{R})$eher als die Lorentz-Gruppe $O(1,3;\mathbb{R})$. Um Spinor-Darstellungen zu ermöglichen, müssen wir zur doppelten Abdeckung gehen$SL(2,\mathbb{C})$.

$^2$Wir können einfach annehmen, dass eine Darstellung über einem reellen Vektorraum zu einem komplexen Vektorraum komplexiert wird.

$^3$Es stellt sich heraus, dass relativistische physikalische Theorien oft relevante komplexe analytische Eigenschaften haben. Siehe auch diese verwandte Phys.SE.

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(EIN)

(0,0) wirkt auf einen trivialen Raum$\mathbb{C}.$

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(B)

$(\frac{1}{2},0)$wirkt auf einen Vektorraum, der gleich einem Spinraum ist$( \alpha|\uparrow \rangle +\beta | \downarrow\rangle)$, ignoriert jetzt die Bedeutung von Auf- und Abdrehen. Dieser Raum ist gerecht$\mathbb{C}^2$bis auf eine Normalisierungsbedingung$|\alpha|^2+|\beta|^2=1.$

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(C)

$(0,\frac{1}{2})$wirkt auf einen Vektorraum, der die gleiche Struktur wie hat$(\frac{1}{2},0)$'s Leerzeichen, kann aber eine andere Bedeutung haben, ich schreibe es als$( \gamma|\Uparrow \rangle +\delta | \Downarrow\rangle).$

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(D)

$(\frac{1}{2},0) \oplus (0,\frac{1}{2})$wirkt auf$(\alpha|\uparrow \rangle +\beta | \downarrow\rangle) \oplus (\gamma|\Uparrow\rangle +\delta | \Downarrow\rangle)=( \alpha|\uparrow\rangle +\beta |\downarrow\rangle + \gamma|\Uparrow\rangle +\delta | \Downarrow\rangle).$

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(E)

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$wirkt auf$(\alpha|\uparrow\rangle +\beta | \downarrow\rangle)\otimes (\gamma|\Uparrow\rangle +\delta | \Downarrow\rangle )=(a|A\rangle + b|B\rangle +c|C\rangle +d|D\rangle).$

$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$und$|\gamma|^2+|\delta|^2=1$kann nicht gelten, es wird ein Ausdruck für$a \ b \ c \ d.$

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(F)

unendliche Basis, indem man (B) zusätzlichen Schwung hinzufügt, zum Beispiel:

$(\alpha_1|\uparrow,p_1\rangle +\beta_1 | \downarrow,p_1\rangle)\oplus( \alpha_2|\uparrow,p_2\rangle +\beta_2 | \downarrow,p_2\rangle)\oplus( \alpha_3|\uparrow,p_3 \rangle +\beta_3 | \downarrow,p_3\rangle)\oplus...$

ich benutze$\oplus$, seit$\langle s_1,p_i|s_2,p_j\rangle =\delta_{ij} \langle s_1 |s_2\rangle .$

Daher ist der Raum:

$$(\sum_{s=1,2} \sum_{p} a_{s,p} |s,p\rangle)$$ mit Normalisierungsbeschränkung$\sum_{s=1,2} \sum_{ p} |a_{s,p}|^2=1.$

In ähnlicher Weise können Sie (A) (C) (D) (E) zusätzlichen Schwung verleihen , um ihre unendlichen Versionen zu realisieren.

für die unendliche Version von (A) ist dieser Vektorraum gerecht$\{ |p\rangle \}$selbst.