Wie unterscheiden sich die Spinor-Indizes von den Raumzeit- oder Lorentz-Indizes?

Das meiste, was ich schreibe, steht bereits in den anderen Antworten / Kommentaren, aber vielleicht hilft Ihnen Folgendes:

Wenn Sie darüber sprechen$SU(2)$Spinor-Transformationen, ich glaube, Sie sprechen von nicht-relativistischen Spinoren (?) (sonst sollte es so sein$SL_2(\mathbb{C})$), also sollten Sie es nicht als Untergruppe von betrachten$\mathcal{L}^{\uparrow}_+$, wenn überhaupt,$\mathcal{L}^{\uparrow}_+ \subset SL_2(\mathbb{C})$. Oder in Ihrem Fall (wenn meine Hypothese richtig ist)$SO(3) \subset SU(2)$.

Wichtig ist, dass wir es in jedem Fall mit der Doppeldeckung zu tun haben$f: SU(2) \to SO(3)$(oder die der Lorentz-Gruppe). Nun, die Repräsentation, unter der sich ein Spinor transformiert, ist per Definition eines Spinors eine Repräsentation von$SU(2)$, sagen,$\rho: SU(2) \to GL(\mathbb{C}^4)$das kommt einer Darstellung nicht zugute$SO(3)$. Es tut jedoch anständig zu einer projektiven, dh ''doppeltwertigen'' Darstellung$SO(3)$. Im quantenmechanischen Kontext ist dies kein Problem, da beide den gleichen Zustand ergeben. Wenn Sie jedoch nicht in einem projektiven Raum arbeiten, können Sie nicht von einem Lorentz (bzw$SO(3)$) Transformation des Feldes/Teilchens$\zeta$, und Sie sind daher gezwungen, es als eine Transformation anzusehen, die durch die doppelte Hülle gegeben ist.

Mathematisch läuft dies, wie in den Kommentaren angegeben, darauf hinaus, Spinoren als Abschnitte des Vektorbündels zu betrachten, die der Spinstruktur und der Darstellung zugeordnet sind, d.h.$\zeta \in \Gamma(P_{SU(2)}(M) \times_{\rho} \mathbb{C}^4)$Wo$M$ist ein$3$Dimensionsorientierte Riemannsche Mannigfaltigkeit, die mit einer Spin-Struktur ausgestattet ist (beachte das$Spin(3) \cong SU(2)$, wohingegen$Spin(1,3) \cong SL_2(\mathbb{C})$). (Vielleicht in einer vertrauteren Sprache,$\zeta' = \rho(A) \zeta$, Wo$\zeta'$ist der Spinor nach der Transformation$B = f(A) \in SO(3)$,$A \in SU(2)$). Wenn es sich ''unter Lorentz-Transformation'' (bzw$SO(3)$in unserem Kontext) wäre es ein Element von$\Gamma(P_{SO(3)}(M) \times_{\Lambda} \mathbb{C}^4)$Wo$\Lambda: SO(3) \to GL(\mathbb{C}^4)$ist Ihre Darstellung der Wahl.

Das scheint wirklich eine ganze Menge Overkill zu sein, und es genauer zu machen, übertreibt sicherlich noch mehr, und es ist wirklich nur eine kleine Ausarbeitung dessen, was bereits in den Kommentaren und den anderen Antworten geschrieben wurde.

Um Ihre Frage abschließend zu beantworten: Unterschiedliche Indizes zeigen die verschiedenen Vektorbündel (äquivalent: die unterschiedliche Symmetriegruppe und die unterschiedliche entsprechende Darstellung) an, die ich zuvor erwähnt habe - zumindest denke ich das ...

Obwohl die Lie-Gruppe dieselbe ist, sind die Darstellungen nicht dieselben. Lügengruppen gibt es in verschiedenen irreduziblen Darstellungen . Der Raumzeit-4-Vektor ist eine Spin-1-Darstellung, während die Spinoren in einer Spin-1/2-Darstellung vorliegen.

Denken Sie an den Hilbert-Raum. Zum Beispiel ist das richtige im einfachsten Fall ein Tensorprodukt (man braucht hier nicht einmal eine Vektorbündelstruktur) der euklidischen Raumzeit und des Spinorraums.

Die entsprechende Symmetriegruppe ist dann ein direktes Produkt einer Symmetriegruppe (Sie können entweder Lorentz oder Poincare in Betracht ziehen), die Transformationen beschreibt, die in der Raumzeit leben, und einer SU(2)-Gruppe, die Transformationen beschreibt, die im Spinorraum leben. Daher sollten die Indizes separat betrachtet werden.

Es geht nicht um Repräsentationen: Die Symmetriegruppe ist größer, und wenn man über Repräsentanten spricht, sollte man über die Repräsentanten der neuen Gruppe sprechen.