Sind Spinoren Darstellungen der Lorentz-Gruppe oder der zugehörigen Algebra?

Spinoren sind projektive Darstellungen der$SO(m,n)$, dh sie liefern Darstellungen bis zu einigen Phasen:

$$U(g)U(h)=e^{i\theta_{g,h}}U(gh)$$ Es stellt sich heraus, dass diese Phasen die Gruppe der geschlossenen Schleifen in der darstellen$SO(m,n)$, auch als Fundamentalgruppe bekannt$SO(m,n)$. Schleifen in der$SO(m,n)$vielfältig aus$0$Zu$2\pi$sind nicht durchgehend zu beliebig kleinen Schleifen verbunden, sie werden aus topologischen Gründen gestreckt. Die Phasen$\theta_{g,h}$Erfassen Sie diese Schleifen. Es ist$n\pi$für Schleifen erhält man durch kontinuierliche Drehungen aus$0$Zu$2\pi n$. Mehr dazu können Sie hier sehen

Die Spinoren sind echte Darstellungen - nicht projektiv - der doppelten Abdeckung von$SO(m,n)$auch bekannt als$\text{spin}(m,n)$. Es stellt sich heraus, dass die doppelte Abdeckung auch die universelle Abdeckung ist, wenn$m+n>2$.

Wir haben einige "zufällige" Isomorphismen , wo für klein genug$m$Und$n$Die Spingruppe ist isomorph zu einigen klassischen Gruppen wie z

$$\text{Spin}(4)\cong SU(2)\times SU(2),\quad \text{Spin}(3,1)\cong SL(2,\mathbb{C}),$$ $$\text{Spin}(2,2)\cong SL(2,\mathbb{R})\times SL(2,\mathbb{R})$$

Teilchenphysiker machen normalerweise den Fehler, zu verwirren$SU(2)\times SU(2)$mit$SL(2,\mathbb{C})$. Wenn die Realitätsbedingungen für die Spinoren nicht wichtig sind, schadet Ihnen dieser Fehler nicht. Wenn Sie jedoch etwas ausgefeiltere Dinge wie Spinor-Helizitätsvariablen und Twistoren tun möchten, wird Ihnen dieser Fehler sehr schaden.

Warum sind projektive Darstellungen für die Physik relevant?

Es stellt sich heraus, dass in der Quantenmechanik die Gruppensymmetrie projektiv durch den Quantensystem-Hilbert-Raum repräsentiert wird. Dies liegt daran, dass zwei Zustände, die sich durch eine Phase unterscheiden, dieselbe Physik beschreiben sollten, sodass wir die Klasse der Äquivalenzen berücksichtigen müssen

$$|\psi\rangle\cong e^{i\theta}|\psi\rangle$$

und dies wird sich in einem schwächeren Begriff der Gruppenmultiplikation widerspiegeln

$$U(g)|\psi\rangle = e^{i\theta_{g}}|g\psi\rangle,\quad U(h)|\psi\rangle = e^{i\theta_{h}}|h\psi\rangle \quad U(g)U(h)|\psi\rangle = e^{i\theta_{gh}}|gh\psi\rangle$$

manchmal können wir all diese Phasen durch Neudefinitionen von absorbieren$U$'s, aber manchmal können wir nicht. Es könnte algebraische und/oder topologische Hindernisse dafür geben. Das Vorhandensein zentraler Ladungen sind algebraische Hindernisse, während nicht-triviale Fundamentalgruppen topologische Hindernisse sind.

Projektive Darstellungen sind algebraisch schwer zu manipulieren, aber wir können einen Trick anwenden. Es stellt sich heraus, dass es immer möglich ist, die Symmetriegruppe zu modifizieren$G$Zu$G'$um zu haben:

Alle projektiven Darstellungen von$G$sind nicht-projektive Darstellungen von$G'$

Für Situationen, in denen wir zentrale Ladungen haben, besteht die Modifikation darin, die zentrale Ladung zu einem neuen Generator zu machen und Ihre Theorie in einem Superauswahlsektor für diese Ladung zu betrachten, dh alle physikalischen Operatoren sollten mit diesem neuen Generator kommutieren und alle Zustände sollten ein bestimmter Eigenzustand sein dieses neuen Generators.

Für Situationen wie den Fall des Spins, wo es ein topologisches Hindernis gibt, wird die Modifikation durch Heraufstufen der ursprünglichen Gruppe gegeben$G$zu seinem universellen Cover$G'$, die im Grunde genommen alle Darstellungen der Lie-Algebra akzeptiert und potenziert , was alle Darstellungen von ergibt$G'$.

Sie können mehr darüber in Kapitel 2 und 5 von Quantum Theory of Fields: Foundations von S. Weinberg sehen.