Spinoren und Spingruppe

Es scheint mir, dass Spinoren (Pinoren) lose als Repräsentationen der Spin-(Pin)-Gruppe definiert sind$Spin(p,q)$($Pin(p,q)$), die die Raumzeit-Symmetriegruppe doppelt abdeckt$SO(p,q)$($O(p,q)$).$\gamma$Matrizen sind eine Matrixdarstellung der Clifford-Algebra, die die Spin-(Pin)-Gruppe erzeugt, und Spinoren sind Vektoren, die sich unter der Matrixdarstellung der Spin-(Pin)-Gruppe transformieren, aus der sie konstruiert sind$\gamma$Matrizen. Ich habe aber zwei Fragen.

1. Einer der Hauptzwecke der Verwendung von Spinoren ist die Spin-Gruppe,$Spin(3,1)$für Minkowski ist der Raum einfach verbunden im Gegensatz zu$SO(3,1)$, also eine projektive Darstellung von$SO(3,1)$kann zu einer nicht-projektiven Darstellung von befördert werden$Spin(3,1)$, siehe Weinbergs QFT. Allerdings sind nicht alle Spingruppen einfach verbunden und es hängt von der Dimension der Raumzeit und der Signatur ab. Ich frage mich, was die physikalische Motivation ist, in diesem Fall Spinoren in Betracht zu ziehen?

2. $\gamma$Matrizen für ungerade Dimensionen der Raumzeit sind keine getreue Matrixdarstellung der Clifford-Algebra. Ist die Darstellung der Spinngruppe in diesem Fall getreu? Wenn nicht, gibt es eine getreue Darstellung der Spin-Gruppe (vielleicht besserer Kandidat für den Namen Spinor)?