Warum wird die (12,12)(12,12)(\frac{1}{2},\frac{1}{2})-Darstellung der Lorentz-Gruppe als Vektorraum von Hermitesch 2×22×22\ realisiert? mal 2 Matrizen?

Question

Warum wird die (12,12)(12,12)(\frac{1}{2},\frac{1}{2})-Darstellung der Lorentz-Gruppe als Vektorraum von Hermitesch 2×22×22\ realisiert? mal 2 Matrizen?

Physik
Spinoren
Gruppentheorie
Spezielle Relativität
Repräsentationstheorie

Tim

Warum können wir ein beliebiges Objekt schreiben $v_{a \dot{b} }$ unsere Transformationen in dieser Basis wirken als

v_{A \dot{B}} = v_{v} σ_{A \dot{B}}^{v} = v^{0} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) + v^{1} (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) + v^{2} (\begin{matrix} 0 & - ich \\ ich & 0 \end{matrix}) + v^{3} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

$v_{a \dot{b} } = v_{\nu} \sigma^{ \nu}_{a \dot{b} } = v^0 \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} + v^1 \begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix} +v^2 \begin{pmatrix} 0&-i \\ i&0 \end{pmatrix} + v^3 \begin{pmatrix} 1&0\\0&-1 \end{pmatrix}$

Anders formuliert: Woher wissen wir, dass der Vektorraum für die $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})= (\frac{1}{2},0) \otimes (0,\frac{1}{2})$ Darstellung der Lorentz-Gruppe ist der hermitische Raum $2\times2$ Matrizen? Der Vektorraum für die $(\frac{1}{2},0)$ Vertretung ist $\mathbb{C}^2$ und ich denke, das gleiche gilt für die $(0,\frac{1}{2})$ Darstellung, aber ich kann es nicht zusammensetzen, um mit hermiteschen Matrizen zu enden.

EDIT: Ich habe in dem Buch Symmetry and the Standard Model: Mathematics and Particle Physics von Matthew Robinson die folgende Erklärung gefunden.

Erinnern Sie sich, dass ebenso wie jede reelle Matrix als Summe einer symmetrischen Matrix und einer antisymmetrischen Matrix geschrieben werden kann, jede komplexe Matrix als Summe einer Hermiteschen Matrix und einer Anti-Hermiteschen Matrix geschrieben werden kann. Allerdings sind die beiden Indizes auf unserer Matrix $v^{a \dot b}$ transformieren unter Darstellungen von $SU(2)$ . Beachten Sie, dass in den Generatoren dieser Kopien von $SU(2)$ , beide Sätze von Generatoren $N^-$ Und $N^+$ sind hermitesch (vgl. (3.229)). Also beschränken wir unsere Diskussion auf den Fall, wo $v^{a \dot b}$ ist ein Hermitianer $2 \times 2$ Matrix.

Wenn mir jemand helfen könnte, diesen Gedankengang zu verstehen, wäre mein Problem gelöst.

Warum erlaubt uns dies, „unsere Diskussion auf den Fall zu beschränken, wo $v^{a \dot b}$ ist ein Hermitianer $2 \times 2$ Matrix"?

Ich verstehe, dass unsere Darstellung hier auf Komplex wirkt $2\times2$ Matrizen. Aber ich verstehe nicht, warum wir uns auf hermitische Matrizen beschränken können.

Prof. Legolasov

Ich verstehe deine Frage nicht. Endliche Vektorräume sind isomorph, wenn (und nur wenn) sie von gleicher Dimension sind.

Tim

@Hindsight Danke für deinen Kommentar. Mein Problem ist zu verstehen, warum die

(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})

$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ Darstellung der Lorentz-Transformationen wirken hermitesch

2 \times 2

$2\times2$ Matrizen. Der zweite Teil meiner Frage ist nur mein Versuch einer Antwort. Weil wir es haben

(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = (\frac{1}{2}, 0) \otimes (0, \frac{1}{2})

$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})= (\frac{1}{2},0) \otimes (0,\frac{1}{2})$ Ich dachte, vielleicht ist das der entsprechende Vektorraum

C^{2} \otimes C^{2}

$\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2$ und dies rechtfertigt irgendwie, dass die in dieser Darstellung lebenden Objekte hermitesch sind

2 \times 2

$2\times2$ Matrizen.

ACuriousMind

Tim, dein Kommentar ist richtig, denke ich. Die Dirac-Spinor-Darstellung wirkt auf

C^{2} \otimes C^{2} = C^{4}

$\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2 = \mathbb{C}^4$ . Die hermiteschen 2x2-Matrizen sind

R^{4}

$\mathbb{R}^4$ als Vektorraum und können daher in die Dirac-Darstellung eingebettet werden, aber ich glaube nicht, dass sie tatsächlich der vollständige Darstellungsraum für die komplexe Darstellung sind. Vielleicht ist impliziert, dass dies die reale Form der üblichen Darstellung ist.

Tim

Soweit ich weiß wandeln sich Dirac-Spinoren entsprechend um

(\frac{1}{2}, 0) \oplus (0, \frac{1}{2})

$(\frac{1}{2},0) \oplus (0,\frac{1}{2})$ Darstellung der Lorentz-Gruppe. Ist dann

C^{2} \otimes C^{2} = C^{4}

$\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2 = \mathbb{C}^4$ oder

C^{2} \oplus C^{2} = C^{4}

$\mathbb{C}^2 \oplus \mathbb{C}^2 = \mathbb{C}^4$ richtig?

ACuriousMind

Seit

C^{n} \otimes C^{m} = C^{n + m}

$\mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^m = \mathbb{C}^{n+m}$ Und

C^{n} \oplus C^{m} = C^{n m}

$\mathbb{C}^n \oplus \mathbb{C}^m = \mathbb{C}^{nm}$ , für

n = m = 2

$n=m=2$ , das ist beides richtig.

Tim

@ACuriousMind Würde dies nicht bedeuten, dass die Dirac-Darstellung und die Vektordarstellung äquivalent sind, da beide auf Elemente von wirken

C^{2}

$\mathbb{C}^2$ ? Nach meinem Verständnis ist eine Darstellung eine Abbildung (Homomorphismus) der linearen Operatoren über einem Vektorraum. Wenn der Vektorraum derselbe ist, in welchem Sinne unterscheiden sie sich? Ich weiß, dass sie ziemlich unterschiedlich sind, weil die Dirac-Darstellung reduzierbar ist, die Vektordarstellung dagegen nicht. Außerdem transformieren sich Dirac-Spinoren völlig anders als Vektoren.

glS

verwandt: physical.stackexchange.com/q/149455/58382

QMechaniker

Verwandte: physical.stackexchange.com/q/28505/2451 , physical.stackexchange.com/q/158958/2451

Antworten (2)

Warum wird die (12,12)(12,12)(\frac{1}{2},\frac{1}{2})-Darstellung der Lorentz-Gruppe als Vektorraum von Hermitesch 2×22×22\ realisiert? mal 2 Matrizen?

Ich verstehe deine Frage nicht. Endliche Vektorräume sind isomorph, wenn (und nur wenn) sie von gleicher Dimension sind.
@Hindsight Danke für deinen Kommentar. Mein Problem ist zu verstehen, warum die $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ Darstellung der Lorentz-Transformationen wirken hermitesch $2\times2$ Matrizen. Der zweite Teil meiner Frage ist nur mein Versuch einer Antwort. Weil wir es haben $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})= (\frac{1}{2},0) \otimes (0,\frac{1}{2})$ Ich dachte, vielleicht ist das der entsprechende Vektorraum $\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2$ und dies rechtfertigt irgendwie, dass die in dieser Darstellung lebenden Objekte hermitesch sind $2\times2$ Matrizen.
Tim, dein Kommentar ist richtig, denke ich. Die Dirac-Spinor-Darstellung wirkt auf $\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2 = \mathbb{C}^4$ . Die hermiteschen 2x2-Matrizen sind $\mathbb{R}^4$ als Vektorraum und können daher in die Dirac-Darstellung eingebettet werden, aber ich glaube nicht, dass sie tatsächlich der vollständige Darstellungsraum für die komplexe Darstellung sind. Vielleicht ist impliziert, dass dies die reale Form der üblichen Darstellung ist.
Soweit ich weiß wandeln sich Dirac-Spinoren entsprechend um $(\frac{1}{2},0) \oplus (0,\frac{1}{2})$ Darstellung der Lorentz-Gruppe. Ist dann $\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2 = \mathbb{C}^4$ oder $\mathbb{C}^2 \oplus \mathbb{C}^2 = \mathbb{C}^4$ richtig?
Seit $\mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^m = \mathbb{C}^{n+m}$ Und $\mathbb{C}^n \oplus \mathbb{C}^m = \mathbb{C}^{nm}$ , für $n=m=2$ , das ist beides richtig.
@ACuriousMind Würde dies nicht bedeuten, dass die Dirac-Darstellung und die Vektordarstellung äquivalent sind, da beide auf Elemente von wirken $\mathbb{C}^2$ ? Nach meinem Verständnis ist eine Darstellung eine Abbildung (Homomorphismus) der linearen Operatoren über einem Vektorraum. Wenn der Vektorraum derselbe ist, in welchem Sinne unterscheiden sie sich? Ich weiß, dass sie ziemlich unterschiedlich sind, weil die Dirac-Darstellung reduzierbar ist, die Vektordarstellung dagegen nicht. Außerdem transformieren sich Dirac-Spinoren völlig anders als Vektoren.
Verwandte: physical.stackexchange.com/q/28505/2451 , physical.stackexchange.com/q/158958/2451

Holograph · Answer 1

Ein Punkt aus den Kommentaren, der hervorgehoben werden sollte, ist, dass jeder endlichdimensionale Vektorraum isomorph zu jedem anderen derselben Dimension ist.

Was eine Darstellung einer Gruppe definiert, ist die Wirkung der Gruppenelemente auf den Vektorraum. Dann ist es oft bequem, eine bestimmte Manifestation des Repräsentationsraums zu wählen, in der die Handlung nett oder vertraut aussieht.

Im Fall der eigentlichen Lorentz-Gruppe verwenden wir zur Klassifizierung der Darstellungen die Tatsache, dass ihre Komplexierung isomorph ist (bis auf a $\mathbb{Z}_2$ ) Zu $SL(2,\mathbb{C})\times SL(2,\mathbb{C})$ , also kann ein Element durch ein Paar gegeben werden $(A,B)$ von $SL(2,\mathbb{C})$ Matrizen. Dann ist die $(\frac12,\frac12)$ Repräsentation kann bequem als auf den Raum von wirkend beschrieben werden $2\times2$ Matrizen als

(A, B) : M \mapsto A M B^{†} .

$(A,B):M\mapsto A M B^\dagger.$ Das ist natürlich, wenn Sie daran denken

M

$M$ als Tensorprodukt von Vektoren in der

(\frac{1}{2}, 0)

$(\frac12,0)$ Und

(0, \frac{1}{2})

$(0,\frac12)$ Darstellungen, wie

M = u v^{†}

$M=u v^\dagger$ (oder eine Summe solcher Terme).

Um die Beziehung zur Vektordarstellung zu sehen, schreiben Sie die Matrizen als

M = (\begin{matrix} T + z & X - ich j \\ X + ich j & T - z \end{matrix})

$M=\begin{pmatrix}t+z & x-i y\\ x+iy & t-z \end{pmatrix}$ und beachten Sie, dass die Determinante ist

t^{2} - x^{2} - y^{2} - z^{2}

$t^2-x^2-y^2-z^2$ , und dass dies unter der Aktion der Gruppe erhalten bleibt. Verwendung der

(t, x, y, z)

$(t,x,y,z)$ Basis anstelle dieser Matrizen würde die übliche Lorentz-Transformation von Vektoren ergeben. Von der Komplexifizierung zum Realteil von

S O (3, 1)_{+}

$SO(3,1)_+$ beschränkt Sie auf eine einzige

S L (2, C)

$SL(2,\mathbb{C})$ , was entspricht

A = B

$A=B$ so wie es hier geschrieben steht, also hermitizität (oder realität von

(t, x, y, z)

$(t,x,y,z)$ ) bleibt ebenfalls erhalten.

Vielen Dank für Ihre Antwort. Eigentlich wollte ich Sie in der anderen Frage fragen, ob Sie sich vielleicht diese Frage ansehen könnten :) Leider verstehe ich immer noch nicht warum $M$ muss hermitesch sein und sonst nichts. Ich verstehe, dass es sein muss $2\times2$ , weil wir die zweidimensionale Darstellung für beide Kopien von verwenden $SL(2,\mathbb{C})$ und das von Ihnen beschriebene Transformationsverhalten, aber Hermitizität ist für mich immer noch nicht offensichtlich.
Die Hermitizität ergibt sich aus einer Realitätsbedingung: Der Raum der hermitischen Matrizen ist der reale Vektorraum, der durch die Aktion der Gruppe erhalten bleibt. Die Tatsache, dass $SO(3,1)$ entspricht $A=B$ folgt, weil die beiden $\mathfrak{sl}(2)$ Algebren sind durch komplexe Konjugation verwandt (wie sie kommen $J+i K$ Und $J-i K$ ).
Okay, aber dann verstehe ich die von Ihnen erwähnte Realitätsbedingung nicht. Warum folgt daraus $(\frac{1}{2},0)^\star= (0,\frac{1}{2})$ Das $(\frac12,\frac12)$ wirkt auf einem reellen Vektorraum?
Ich habe die Frage mit einem Zitat aus einem Buch bearbeitet, das meiner Meinung nach denselben Gedankengang wie Sie hier verwendet. Vielleicht hilft das zu verstehen, was mein Problem ist
Sie können die Gruppe auf allen Matrizen agieren lassen, wenn Sie möchten: ein 8-(real)-dimensionaler Raum. Aber die Menge der hermitischen Matrizen (oder der antihermitischen) ist invariant, also ist diese Darstellung als direkte Summe von zwei Darstellungen von 4 reellen Dimensionen reduzierbar.
Super danke! Ich glaube, ich habe es jetzt fast verstanden. Zwei kleine Fragen: Bedeutet das, dass wir auch mit antihermiteschen Matrizen arbeiten könnten? Wenn ja, führt dies zum selben Ergebnis, weil diese beiden Darstellungen durch eine Basiswahl in Beziehung stehen? Und zweitens, kennen Sie ein Buch oder PDF, in dem ausdrücklich gezeigt wird, dass hermitische Matrizen hier invariant sind?
Ich konnte es selbst berechnen und daher ist die letzte Frage obsolet.

QMechaniker · Answer 2

Holographer hat bereits eine richtige Antwort gegeben. Lassen Sie uns hier nur versuchen, die Hauptpunkte hervorzuheben.

Beachten Sie zur Überprüfung der Abmessungen, dass die LHS. und rechts. der Isomorphie der Darstellungen
$\begin{matrix} (1) & (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) ≅ {M A T}_{2 \times 2} (C) \end{matrix}$ $\tag{1} (\frac{1}{2},\frac{1}{2})~\cong~ {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C})$ beide haben 4 komplexe Dimensionen, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag. Es würde keinen Sinn machen, die rechte Seite zu ersetzen. von (1) mit dem Vektorraum $u(2)$ von Hermitian $2\times 2$ Matrizen, denn die hat nur 4 reale Dimensionen.
Der Grund ist der Vektorraum $u(2)$ von Hermitian $2\times 2$ Matrizen auftauchen, liegt daran, dass die Vektordarstellung der Lorentz-Gruppe der Minkowski-Raum ist $M(1,3;\mathbb{R})\cong u(2)$ , der wiederum isomorph zum Vektorraum ist $u(2)$ von Hermitian $2\times 2$ Matrizen. Der komplexe Minkowski-Raum $M(1,3;\mathbb{C})\cong {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C})$ ist dann isomorph zum Vektorraum ${\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C})$ von Komplex $2\times 2$ Matrizen. Weitere Details und Begründungen finden sich zB in diesem Phys.SE-Beitrag.

Warum wird die (12,12)(12,12)(\frac{1}{2},\frac{1}{2})-Darstellung der Lorentz-Gruppe als Vektorraum von Hermitesch 2×22×22\ realisiert? mal 2 Matrizen?

Tim

Prof. Legolasov

Tim

ACuriousMind

Tim

ACuriousMind

Tim

glS

QMechaniker

Antworten (2)

Holograph

Tim

Holograph

Tim

Tim

Holograph

Tim

Tim

QMechaniker

Spindarstellungen der Lorentz-Gruppe

Sind Spinoren Darstellungen der Lorentz-Gruppe oder der zugehörigen Algebra?

Wie ist die Beziehung zwischen SL(2,C)SL(2,C)SL(2,\mathbb{C}), SU(2)×SU(2)SU(2)×SU(2)SU(2)\ mal SU(2) und SO(1,3)SO(1,3)SO(1,3)?

Spinoren und Spingruppe

Wie unterscheiden sich die Spinor-Indizes von den Raumzeit- oder Lorentz-Indizes?

Wie folgen einfache zweikomponentige Fierz-Identitäten aus einer Eigenschaft der Pauli-Matrizen?

Wie lässt sich die Weyl-Spinor-Transformation als Repräsentation der Lorentz-Gruppe beweisen?

Eichinvarianz und die Form der Rarita-Schwinger-Wirkung

Beweis der Ungleichheit Darstellung des rechten und linken Spinors

Wie unterscheidet man einen Spinor von einem 4-Vektor?