Wie folgen einfache zweikomponentige Fierz-Identitäten aus einer Eigenschaft der Pauli-Matrizen?

Question

Wie folgen einfache zweikomponentige Fierz-Identitäten aus einer Eigenschaft der Pauli-Matrizen?

Physik
Spinoren
Gruppentheorie
Dirac-Gleichung
Spezielle Relativität
Repräsentationstheorie

das Alter

Auf Seite 51 beginnen Peskin und Schroeder mit der Ableitung grundlegender Fierz-Austauschbeziehungen unter Verwendung von zweikomponentigen rechtshändigen Spinoren. Sie beginnen mit der Angabe der trivialen (aber langweiligen) Pauli-Sigma-Identität

\begin{matrix} (3,77) & (σ^{μ})_{a β} (σ_{μ})_{γ δ} = 2 ϵ_{a γ} ϵ_{β δ} . \end{matrix}

$(\sigma^\mu)_{\alpha\beta}(\sigma_{\mu})_{\gamma\delta}=2\epsilon_{\alpha\gamma}\epsilon_{\beta\delta}.\tag{3.77}$ Sie behaupten dann, diese Identität zwischen den rechtshändigen Teil von vier Dirac-Spinoren zu "sandwichen".

u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}

$u_1,u_2,u_3,u_4$ :

({\bar{u}}_{1 R} σ^{μ} u_{2 R}) ({\bar{u}}_{3 R} σ_{μ} u_{4 R}) = 2 ϵ_{a γ} {\bar{u}}_{1 R a} {\bar{u}}_{3 R γ} ϵ_{β δ} u_{2 R β} u_{4 R δ} .

$(\bar u_{1R}\sigma^\mu u_{2R})(\bar u_{3R}\sigma_{\mu}u_{4R})=2\epsilon_{\alpha\gamma}\bar u_{1R\alpha}\bar u_{3R\gamma}\epsilon_{\beta\delta}u_{2R\beta}u_{4R\delta}.$ Ich verstehe die erste Identität mit Elementen der Kontraktion des Pauli-Vektors vollkommen gut, aber diese hier verwirrt mich völlig. Der nächste Schritt in ihrer Berechnung tauscht Indizes in den Levi-Citiva-Symbolen aus und verwendet im Wesentlichen dieselbe Gleichung in der anderen Richtung, um die erwartete Fierz-Identität zu erhalten. Wenn ich also die erste Gleichheit verstehen würde, würde ich auch die zweite kennen. Ich kann jedoch einfach nicht sehen, wie es leicht aus der Pauli-Matrixgleichung folgt. Ich habe daher zwei Fragen.

a) Gibt es eine elegante Möglichkeit, die Identität tatsächlich in vier rechtshändige Weyl-Spinoren zu „sandwichen“, oder muss ich die Bilineare manuell erweitern?

b) Spielt hier eigentlich die Rechtshändigkeit eine Rolle? Das heißt, es scheint mir, als würde diese Ableitung genauso gut mit jedem linkshändigen Spinor funktionieren, aber ist das wahr?

Kosmas Zachos

Betrachtet man die WP-Vollständigkeitsbeziehung ?

Antworten (1)

Wie folgen einfache zweikomponentige Fierz-Identitäten aus einer Eigenschaft der Pauli-Matrizen?

Hans de Vries · Answer 1

Es ist eigentlich ganz einfach, wenn du es aufschreibst,

Beachten Sie, dass sowohl die erste als auch die zweite Identität 16 skalare Ergebnisse liefern.

Die 16 Ergebnisse der zweiten Identität sind dieselben wie die 16 Ergebnisse der ersten Identität, aber multipliziert mit Werten von den Spinoren. Diese zusätzlichen Multiplikationsfaktoren sind unabhängig von allen summierten gleich $\sigma^\mu$ .

Die erste Identität verwendet Sätze von 2x2-Matrizen $(\sigma^\mu)$ ergibt 2x2x2x2=16 Ergebnisse.

Für die zweite Identität können Sie die 2x2-Matrizen wie im Bild unten vormultiplizieren. Multiplizieren Sie einen der 2x2-Unterblöcke der ersten Matrix mit einem der 2x2-Unterblöcke der zweiten Matrix und Sie erhalten die 16 einzelnen Ergebnisse des "sandwiched"-Ausdrucks.

Tatsächlich spielt es überhaupt keine Rolle, ob die Spinoren als links- oder rechtshändig definiert sind.

Wie folgen einfache zweikomponentige Fierz-Identitäten aus einer Eigenschaft der Pauli-Matrizen?

das Alter

Kosmas Zachos

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Hans de Vries

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