Dirac-Spinor in der chiralen Basis

In der chiralen Basis nehmen die Gammamatrizen die Form an

γ 0 = [ 0 1 1 0 ] , γ J = [ 0 − σ J σ J 0 ]
und daher kann man berechnen, wie der linke und der rechte Projektor aussehen:
P R = [ 1 0 0 0 ] , P L = [ 0 0 0 1 ] .
Gegeben ist ein Dirac-Spinor mit Komponenten ψ = ( ψ 1 , ψ 2 , ψ 3 , ψ 4 ) T , ist es ziemlich klar, dass die Weyl-Spinoren werden sollten
ψ R := P R ψ = ( ψ 1 ψ 2 0 0 ) , ψ L := P L ψ = ( 0 0 ψ 3 ψ 4 )
und man kann den Spinor rekonstruieren, indem man über beide summiert, as ψ = ψ R + ψ L . Mir wurde jedoch gesagt, dass wir auf dieser Grundlage den Dirac-Spinor in Bezug auf die Weyl-Spinoren als zerlegen können
ψ = [ ψ R ψ L ] .
Das kann nicht möglich sein, wenn ψ R Und ψ L sind die oben definierten Objekte mit vier Komponenten. Es ist also wahrscheinlich ein Notationsproblem; Wer sind diese ψ R , ψ R und was ist ihre Beziehung mit P R ψ , P L ψ ?

Antworten (1)

Die Projektoren P R , P L Projekt ψ ∈ H ≅ R 4 auf die rechts- und linkshändigen Sektoren der Darstellung der Lorentz-Algebra, die jeweils ein zweidimensionaler Vektorraum sind, also (lokal) isomorph zu R 2 .

Was hier mit „Summe“ gemeint ist, ist die direkte Summe ⊕ :

( ψ 1 ψ 2 ) ⊕ ( ψ 3 ψ 4 ) = ( ψ 1 ψ 2 ψ 3 ψ 4 ) .
Sie haben richtig beobachtet, dass die Projektoroperatoren die beiden Einträge nicht in den projizierten Raum fallen lassen, also P L H ≅ R 2 , ebenso für P R H . Also die Aussage „ ψ = ψ 1 + ψ 2 „bedeutet wirklich
H ≅ P L H ⊕ P R H .
Um deine letzte Frage zu beantworten, dann ψ R Und ψ L sind die Mitglieder von R 2 die (über Isomorphismus) mit den Bildern der Projektionen identifiziert werden können H .

Danke für deine Antwort, ich hatte schon vermutet, dass es so etwas war. Leider war die Exposition, die ich zu diesem Thema hatte, mathematisch ziemlich schlampig und ich habe das Gefühl, dass zu viele Details beschönigt wurden.
Schön, dass es hilft. Meine Lieblingsausstellung zu diesem Thema ist Kapitel 10 in Schwartz' Quantum Field Theory and the Standard Model. Er beginnt mit Darstellungen der Lorentz-Gruppe, die diese Zerlegung ganz natürlich motiviert (Kapitel 10.2). Er hat auch keine Angst davor, mathematische Terminologie zu flashen, was es einfach macht, nach zusätzlichem Kontext zu googeln.
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