Warum werden normalerweise 4x4-Gammamatrizen verwendet? [Duplikat]

Sie haben keine andere Wahl als zu verwenden$4\times 4$Matrizen. Alle diese "Darstellungen" sind verschiedene Realisierungen (verwandt durch Ähnlichkeitstransformationen) der einzig möglichen irreduziblen Darstellung der Clifford-Algebra, die durch das Abstrakte überspannt wird$\gamma^\mu$. Diese Darstellung ist in gewisser Weise die Definition dessen, was ein "Dirac-Spinor" ist, und es ist normalerweise eine Darstellung der Abdeckgruppe der Rotationsgruppe, aber nur eine projektive Darstellung der Rotationsgruppe selbst. Auch ist er als Darstellung der Rotationsgruppe nicht immer irreduzibel (z. B. zerfällt der 4D-Diac-Spinor in die beiden Weyl-Spinoren und auch in zwei Majorana-Spinoren).

Man kann allgemein zeigen, dass die Clifford-Algebra in$(1,d-1)$Dimensionen haben ihre einzigen irreduziblen Darstellungen, die durch einen Vektorraum der Dimension gegeben sind$2^{\lfloor {d/2}\rfloor}$, welches ist$2^2 = 4$, unter Berücksichtigung der "Erhöhungs-/Senkungsoperatoren"${\gamma^\pm}^k = \gamma^{2k}\pm\gamma^{2k+1}$in enger Analogie zum üblichen Ladder-Operator-Verfahren z$\mathfrak{su}(2)$. Es stellt sich heraus, dass der Raum von überspannt wird$\lvert s_1,\dots,s_k\rangle$zum$s_i=\pm 1/2$(das$s_i$sind die Eigenwerte von$S^k = [\gamma^{+k},\gamma^{-k}]$) ist die einzige konsistente nicht-triviale irreduzible Darstellung, die Sie konstruieren können. In ungeraden Dimensionen gibt es davon zwei verschiedene, die sich durch Chiralität unterscheiden.

Ein anderer Weg verwendet die Gruppe der$\Gamma^M$konstruiert durch die Einnahme von Produkten$\gamma^{\mu_1}\dots\gamma^{\mu_k}$zum$k \leq d$und$\mu_1 < \mu_2 < \dots \mu_k$. Das$M$läuft von$1$zu$2^d$(noch was muss man zeigen...). Jede irreduzible Darstellung der Clifford-Algebra ist eine irreduzible Gruppendarstellung dieser Gruppe.

Jetzt bedenke$S = \sum_M \rho(\Gamma^M) N\sigma(\Gamma^M)^{-1}$für zwei irreduzible Darstellungen$\rho$von Dimension$n$und$\sigma$von Dimension$n'$und alle$n\times n'$-Matrix$N$. Das kannst du zeigen$S\rho(\gamma^M) = \sigma(\gamma^M)S$, Also$S$ein Intertwiner ist, und nach Schurs Lemma auch nicht$S$ist invertierbar, also$n=n'$, oder$S=0$. Wenn es also zwei verschiedene irreduzible Darstellungen gibt, sagt dies das aus$\sum_M\rho(\Gamma^M)N\sigma(\Gamma^M)^{-1} = 0$für jede Wahl von$N$. Deswegen

$$\sum_M \rho(\Gamma^M)_{kl}\sigma(\Gamma^M)_{ij} = 0$$ für alle $k,l,i,j$. Wählen $k=l$und $i=j$Summieren (dh unabhängig voneinander die Spur der beiden Matrizen nehmen) und darüber nachdenken, welche Gammamatrizen zu diesen Spuren beitragen, kann man sowohl für den geraden als auch für den ungeraden Fall darauf schließen $n=n'$gelten muss, und dass es eine irreduzible Darstellung für gerade gibt $d$und zwei davon für den ungeraden Fall.

Das ist eine nette Frage. Um dies zu beantworten, beginnen wir mit der von erstellten Clifford-Algebra$\gamma$Matrizen.

$$\begin{equation} \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}+ \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}=2\eta_{\mu\nu} \end{equation}$$ mit $\mu,\nu=0,1,2,\cdots N$mit der metrischen Signatur $\eta_{\mu\nu =}\text{diag}(+,-,-,-,\cdots,-)$. Verwenden $I$und $\gamma_{\mu}$Wir können eine Reihe von Matrizen wie folgt konstruieren $$\begin{equation} I, \gamma_{\mu},\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\quad(\mu<\nu), \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\gamma_{\lambda}\quad(\mu<\nu<\lambda),\cdots,\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{N} \end{equation}$$ Es gibt $$\begin{equation} \sum_{p=0}^{N}\binom{N}{p} = 2^{N} \end{equation}$$ solche Matrizen. Rufen wir sie an $\Gamma_{A}$, wo $A$läuft von $0$zu $2^{N}-1$. Nun lass $\gamma_{\mu}$sind $d\times d$dimensionale irreduzible Matrizen. Unser Ziel ist es, eine Beziehung zwischen zu finden $d$und $N$. Zu diesem Zweck definieren wir eine Matrix $$\begin{equation} S = \sum_{A=0}^{2^N-1}(\Gamma_{A})^{-1}Y\Gamma_{A} \end{equation}$$ . Wo $Y$ist etwas willkürlich $d\times d$Matrix. Daraus folgt $$\begin{equation} (\Gamma_{B})^{-1}S\Gamma_{B} = \sum_{A=0}^{2^N-1}(\Gamma_{A}\Gamma_{B})^{-1}Y\Gamma_{A}\Gamma_{B} =\sum_{C=0}^{2^N-1}(\Gamma_{C})^{-1}Y\Gamma_{C}=S \end{equation}$$ Wo wir verwendet haben $\Gamma_{A}\Gamma_{B}=\epsilon_{AB}\Gamma_{C}$, mit $\epsilon_{AB}^{2}=1$Somit $$\begin{equation}S\Gamma_{A}=\Gamma_{A}S\end{equation}$$ Seit $S$mit allen Matrizen in der Menge kommutiert, schließen wir das aus Schurs Lemma $S$muss proportional zur Identitätsmatrix sein, damit wir schreiben können $$\begin{equation} S = \sum_{A=0}^{2^N-1}(\Gamma_{A})^{-1}Y\Gamma_{A} = \lambda I \end{equation}$$ Auf der Spur bekommen wir $$\begin{eqnarray} \text{Tr} S & = & \sum_{A=0}^{2^N-1} \text{Tr} Y = \lambda d\\ \Rightarrow \lambda & = & \frac{2^{N}}{d}\text{Tr} Y \end{eqnarray}$$ oder $$\begin{equation} \sum_{A=0}^{2^N-1}(\Gamma_{A})^{-1}Y\Gamma_{A} = \frac{2^{N}}{d}\text{Tr} Y \end{equation}$$ Unter der $(j; m)$Matrixelement beider Seiten der letzten Gleichung ergeben $$\begin{equation} \sum_{A=0}^{2^N-1}(\Gamma_{A})^{-1})_{jk}(\Gamma_{A})_{km} = \frac{2^{N}}{d}\delta_{jm} \delta_{kl} \end{equation}$$ wo $j; k; l; m = 1; 2;\cdots; d$und wir haben die Tatsache ausgenutzt, dass Y beliebig ist $d \times d$Matrix. Wenn wir setzen $j = k; l = m$und über diese beiden Indizes summieren, das ergibt $$\begin{equation} \sum_{A=0}^{2^N-1} \text{Tr}[(\Gamma_{A})^{-1}] \text{Tr}[\Gamma_{A}] = 2^{N}\end{equation}$$ Es sind zwei Fälle zu betrachten, nämlich $N$sogar und $N$seltsam. Zum $N = 2M$(eben), $\text{Tr} \Gamma_{A} = 0$ausser für $\Gamma_{0} = 1$wofür $\text{Tr} \Gamma_{0} = d$. Was gibt $$\begin{equation} d^2 = 2^N\qquad \text{or} \quad \boxed{d = 2^{N/2}} \end{equation}$$ Dies ist das Hauptergebnis. Für die vierdimensionale Minkowski-Raumzeit $N=4$folglich ist die Dimension der irreduziblen Repräsentation $d = 2^{4/2} =4$.