Welche Beziehung besteht zwischen der Lorentz-Gruppe und der CL(1,3)CL(1,3)CL(1,3)-Algebra?

Ich beginne im Kontext des dreidimensionalen Raums und erweitere den Kontext dann auf die vierdimensionale Raumzeit.

Eine Observable sollte invariant unter a sein$2\pi$Drehung. Ein Modell wird normalerweise in Form von Feldoperatoren konstruiert, und Observable werden in Form von Feldoperatoren ausgedrückt, aber die Feldoperatoren selbst müssen unter a nicht invariant sein$2\pi$Drehung. Dies ist wegen des Satzes der Spin-Statistik wichtig , der besagt, dass in der relativistischen QFT ein Fermionenfeld (dessen entsprechendes Teilchen dem Pauli-Ausschlussprinzip gehorcht) das Vorzeichen unter a ändern muss$2\pi$Drehung.

Wenn wir also das Pauli-Ausschlussprinzip in einer relativistischen QFT handhaben wollen, brauchen wir eine Möglichkeit, Felder zu konstruieren, die unter a das Vorzeichen ändern$2\pi$Drehung. Vertretungen der Rotationsgruppe$O(3)$mach das nicht. Wir brauchen etwas anderes. Die Clifford-Algebra gibt uns eine schöne Möglichkeit, dieses etwas andere zu konstruieren.

Nehmen wir an, wir arbeiten immer noch im Kontext des dreidimensionalen Raums und haben drei Matrizen$\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$das befriedigt

$$\gamma_j\gamma_k+\gamma_k\gamma_j=2\delta_{jk}.$$ Wir können einen gewöhnlichen Vektor darstellen als$\mathbf{v}=\sum_k v^k\gamma_k$. Vertraute Manipulationen von Vektoren können unter Verwendung dieser Darstellung ausgedrückt werden. In den folgenden Gleichungen$\mathbf{v}\mathbf{u}$bedeutet das Matrixprodukt der Matrixdarstellungen von$\mathbf{v}$Und$\mathbf{u}$. (Als abstraktes Produkt, abgesehen von jeder Matrixdarstellung, würde dies das Clifford-Produkt genannt werden .) Das Skalarprodukt zweier Vektoren$\mathbf{v}$Und$\mathbf{u}$Ist $$\frac{\mathbf{v}\mathbf{u}+\mathbf{u}\mathbf{v}}{2} =(\mathbf{v}\cdot\mathbf{u})I,$$ Wo$I$ist die Identitätsmatrix und der natürlichere Ersatz für das "Kreuzprodukt". $$\mathbf{v}\wedge\mathbf{u}\equiv \frac{\mathbf{v}\mathbf{u}-\mathbf{u}\mathbf{v}}{2},$$ was eine Linearkombination der Basisbivektoren ist$\gamma_j\gamma_k$. (Dies wird als Keilprodukt bezeichnet und erzeugt einen Bivektor – wie es sein sollte – und keinen Vektor.) Eine Drehung um einen Winkel$\theta$im$1$-$2$Ebene (zum Beispiel) ist gegeben durch $$\mathbf{v}\mapsto \exp\left(\frac{\theta}{2}\gamma_1\gamma_2\right) \mathbf{v} \exp\left(-\frac{\theta}{2}\gamma_1\gamma_2\right).$$ Dies ist eine gewöhnliche Drehung des Vektors$\mathbf{v}$durch Winkel$\theta$(nicht$\theta/2$) im$1$-$2$Flugzeug (auch bekannt als "über die$3$Achse"). Ein Spinor ist eine einspaltige Matrix$\psi$das transformiert sich unter Drehungen entsprechend $$\psi\mapsto \exp\left(\frac{\theta}{2}\gamma_1\gamma_2\right)\psi.$$ Um dies zu motivieren, beachten Sie, dass das Produkt$\mathbf{v}\,\psi$verwandelt sich wieder wie Spinor: $$\mathbf{v}\,\psi\mapsto \exp\left(\frac{\theta}{2}\gamma_1\gamma_2\right) \mathbf{v} \exp\left(-\frac{\theta}{2}\gamma_1\gamma_2\right) \exp\left(\frac{\theta}{2}\gamma_1\gamma_2\right)\psi = \exp\left(\frac{\theta}{2}\gamma_1\gamma_2\right)\mathbf{v}\,\psi.$$ Noch mehr, wenn wir die Matrixdarstellung der wählen$\gamma$-Matrizen damit$\gamma_k^\dagger=\gamma_k$, dann die Menge$\psi^\dagger\mathbf{v}\psi$ist unter allen Drehungen unveränderlich. Und wenn$\theta=2\pi$, dann können wir verwenden$(\gamma_1\gamma_2)^2=-1$zu beweisen, dass sich die Transformation auf reduziert$\psi\mapsto-\psi$, was wir wollen. Das bedeutet, dass$\psi$an sich kann kein Observable sein, aber etwas, das ein Produkt von zwei beinhaltet$\psi$s kann immer noch eine Observable sein, weil sich die Minuszeichen aufheben.

Die kleinsten Matrizen, die die erste Gleichung erfüllen, sind$2\times 2$, damit wir vertreten können$\psi$als Spaltenmatrix mit zwei (komplexen) Komponenten. Diese entsprechen beispielsweise den "spin up"- und "spin down"-Komponenten eines Elektrons. Die vorstehenden Gleichungen zeigen, wie sich diese beiden Komponenten bei einer Drehung miteinander vermischen.

Zusammenfassend in Bezug auf die physikalische Bedeutung der$\gamma$-Matrizen im dreidimensionalen Raum: Wir können sie verwenden, um gewöhnliche Vektoren zu beschreiben, einschließlich gewöhnlicher Rotationen, und sie bieten auch eine schöne Möglichkeit, Dinge zu beschreiben, die das Vorzeichen ändern$2\pi$Rotationen, wie es Fermionen tun sollten. So bekommen wir alles, was wir brauchen, in einem Paket.

Nun Übergang zur vierdimensionalen Raumzeit. Wir haben im Grunde die gleiche Geschichte, aber mit der Rotationsgruppe$O(3)$durch die Lorentz-Gruppe ersetzt. Aus Gründen der Konsistenz mit der Spin-Statistik-Verbindung brauchen wir eine Möglichkeit, Darstellungen zu konstruieren, die das Vorzeichen unter a ändern$2\pi$Drehung. Darstellungen der Lorentz-Gruppe selbst tun dies nicht, aber wir können wieder die Clifford-Algebra verwenden. Übrigens lässt sich das alles gut auf eine beliebige Anzahl von Raum-Zeit-Dimensionen verallgemeinern, aber ich zeige hier nur den 4-D-Fall.

Angenommen, wir haben 4 Matrizen$\gamma_\mu$das befriedigt

$$\gamma_\mu\gamma_\nu+\gamma_\nu\gamma_\mu=2\eta_{\mu\nu},$$ Wo$\eta_{\mu\nu}$sind die Komponenten der Minkowski-Metrik. Wir können einen gewöhnlichen Vierervektor darstellen als$\mathbf{v}=\sum_\mu v^\mu\gamma_\mu$. Auch hier gelten die vorstehenden Ausführungen zu den Punktprodukten und dem Keilprodukt. (Das "Kreuzprodukt", das vorgibt, einen Vektor aus den beiden Eingabevektoren zu konstruieren, verallgemeinert sich nicht auf die vierdimensionale Raumzeit, das Keilprodukt jedoch.) Eine Lorentz-Transformation (Boost oder Rotation) in der$\mu$-$\nu$Flugzeug ist gegeben durch $$\mathbf{v}\mapsto \exp\left(\frac{\theta}{2}\gamma_\mu\gamma_\nu\right) \mathbf{v} \exp\left(-\frac{\theta}{2}\gamma_\mu\gamma_\nu\right).$$ Die Wirkung derselben Lorentz-Transformation auf einen Dirac-Spinor$\psi$Ist $$\psi \mapsto \exp\left(\frac{\theta}{2}\gamma_\mu\gamma_\nu\right)\psi.$$ Auch hier ändert sich das Vorzeichen unter a$2\pi$Drehung, also können wir dies für ein Fermionenfeld verwenden. Es kann selbst keine Observable sein, aber wir können es verwenden, um Observablen zu konstruieren, weil jedes Produkt einer geraden Anzahl dieser Dinge unter a unveränderlich ist$2\pi$Drehung. Die kleinsten Matrizen, die die definierende Beziehung erfüllen, haben Größe$4\times 4$. (In$2n$-dimensionale Raumzeit, sie haben Größe$2^n\times 2^n$, und sie haben dieselbe Größe in$2n+1$-dimensionale Raumzeit.)

Zusammenfassend in Bezug auf die physikalische Bedeutung der$\gamma$-Matrizen in der vierdimensionalen Raumzeit: Wir können sie verwenden, um Lorentz-Boosts von Dingen wie gewöhnlichen Vektoren zu beschreiben, und sie bieten auch eine schöne Möglichkeit, Dinge zu beschreiben, die das Vorzeichen ändern$2\pi$Rotationen, wie es Fermionen tun sollten. Wir bekommen also alles, was wir brauchen, alles in einem Paket – ohne jemals etwas über Quadratwurzeln von Klein-Gordon-Gleichungen zu erwähnen.

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Übrigens, wenn man sagt, dass ein Fermionenfeld unter a das Vorzeichen wechseln muss$2\pi$Rotation mag problematisch erscheinen, weil sie besagt, dass gewöhnliche Spin-1/2-Teilchen – wie Elektronen, Protonen und Neutronen – diese Eigenschaft ebenfalls haben müssen. Das tun sie , und das ist kein Problem. Es ist beispielsweise in einem Einelektronenzustand kein Problem, da die Vorzeichenänderung in diesem Fall nur eine Änderung des Gesamtkoeffizienten des Zustandsvektors ist, die keine beobachtbaren Konsequenzen hat. Es würde ein Problem in einem Zustand wie verursachen$|\text{even}\rangle+|\text{odd}\rangle$das ist eine Überlagerung von Zuständen mit gerader und ungerader Anzahl von Fermionen, und solche Überlagerungen sind in der QFT nicht erlaubt . Zustände mit gerader und ungerader Anzahl von Fermionen gehören zu verschiedenen Superselektionssektoren . Was wir tun können , ist eine Überlagerung von zwei verschiedenen Orten eines einzelnen Fermions und dann den Vorzeichenwechsel unter a zu betrachten$2\pi$Rotation hat indirekt beobachtbare Konsequenzen. Dies wurde in Neutroneninterferenzexperimenten demonstriert, im Grunde Zweispaltexperimente mit einem makroskopischen Abstand zwischen den beiden Pfaden im Interferometer. (Beugung in einem Kristall wurde als Ersatz für "Schlitze" verwendet.) Magnete wurden verwendet, um eine Präzession jedes Neutrons zu verursachen, das durch einen der Pfade geht, und die Wirkung auf das resultierende Interferenzmuster mit zwei Schlitzen zeigt die Wirkung des Vorzeichens -unter ändern$2\pi$Drehungen. Dies wird in „Theoretische und konzeptionelle Analyse des gefeierten$4\pi$-Symmetrie-Neutronen-Interferometrie-Experimente", https://arxiv.org/abs/1601.07053 .

Die Konstruktion lässt sich verallgemeinern zu an$n$-dimensional$\mathbb{F}$-Vektorraum$V$mit einem$\mathbb{F}$-bilineare symmetrische nicht entartete Form$g: V\times V\to \mathbb{F}$. Lassen$(e_k)_{k=1, \ldots, n}$Grundlage sein für$V$Und$g_{jk}:=g(e_j,e_k)$.

1. Die (möglicherweise unbestimmte ) orthogonale Gruppe

   $$O(V)~:=~\{M\in GL(V) ~|~\forall v,w\in V:~~ g(M(v), M(w))~=~g(v,w) \}$$ $$~\stackrel{\text{polarization}}{=}~\{M\in GL(V) ~|~\forall v\in V:~~ g(M(v), M(v))~=~g(v,v) \} \tag{1}$$ mit entsprechender Lie-Algebra $$so(V)~:=~\{m\in {\rm End}(V) ~|~\forall v,w\in V:~~ g(m(v),w)+g(v,m(w))~=~0 \}$$ $$~\stackrel{\text{polarization}}{=}\{m\in {\rm End}(V) ~|~\forall v\in V:~~ g(m(v),v)+g(v,m(v))~=~0 \}~. \tag{2}$$ Es gibt einen Vektorraum-Isomorphismus $$\bigwedge{}^2 V~\ni~\omega ~=~\frac{1}{2}\sum_{j,k=1}^n\omega^{jk}e_j\wedge e_k ~~\mapsto~~ -i((\cdot)^{\flat})\omega ~=~\sum_{j,k,\ell=1}^n e_j \omega^{jk}{}g_{k\ell} e^{\ast\ell} \in~so(V), \tag{3}$$ Wo$i:V^{\ast}\times \bigwedge V \to \bigwedge V$bezeichnet das Innenprodukt und$\flat:V\to V^{\ast}$ist der musikalische Isomorphismus $v\mapsto v^{\flat}:=g(v,\cdot)$.

2. Die Clifford-Algebra ist definiert als

   $$Cl(V)~:=~T(V)/I(V), \qquad T(V)~:=~\bigoplus_{n=0}^{\infty} T^n(V),$$ $$T^n(V)~:=~ \underbrace{V\otimes \ldots\otimes V}_{n\text{ factors}},\qquad T^0(V)~:=~\mathbb{F}, \tag{4}$$ Wo$I(V)$ist das zweiseitige Ideal in$T(V)$generiert durch $$\{v\otimes v - g(v,v){\bf 1} \in T(V)~|~ v\in V\}.\tag{5}$$ Die lineare Karte$\Phi: V\to {\rm End}(\bigwedge V)$gegeben durch eine Summe aus äußerer und innerer Multiplikation$v\mapsto e(v)+i(v^{\flat})$kann zu einem algebraischen Homomorphismus erweitert werden $$\Phi: T(V)~\to~ {\rm End}(\bigwedge V)\tag{6}$$ so dass $$\Phi(v\otimes v)~=~ \Phi(v)\circ \Phi(v)~=~\ldots~=~g(v,v)\Phi({\bf 1}) \tag{7}$$ mit Kern${\rm Ker}(\Phi)=I(V)$. Mit anderen Worten, es gibt einen algebraischen Homomorphismus $$\widetilde{\Phi}: Cl(V)~\to~ {\rm End}(\bigwedge V)\tag{8}$$ Dann $$Cl(V)~\ni~ c~~\mapsto~~ \widetilde{\Phi}(c)(1)~\in~ \bigwedge V\tag{9}$$ ist ein Vektorraumisomorphismus. Insbesondere $$Cl(V)^{\rm even}~\ni~ c~=~\frac{1}{4}\sum_{j,k=1}^n\omega^{jk}(e_j\otimes e_k-e_k\otimes e_j)$$ $$~~\mapsto~~ \widetilde{\Phi}(c)(1) ~=~\frac{1}{2}\sum_{j,k=1}^n\omega^{jk}e_j\wedge e_k ~=~\bigwedge{}^2 V.\tag{10}$$

3. Die Abbildungen (3) & (10) können kombiniert werden, um eine Einbettung zu ergeben$so(V) \hookrightarrow Cl(V)^{\rm even}$. Im Klartext: Die Erzeuger der Lie-Algebra (2) lassen sich mit Antikommutatoren von Gammamatrizen (bis auf Normalisierung) identifizieren. Siehe auch Ref. 1 & 2.

Verweise:

1. S. Sternberg, Lie-Algebren, 2004; Kapitel 9.

2. W. Fulton & J. Harris, Repräsentationstheorie, 1991; Vortrag 20.