Dirac-Gleichung in 1+1D-Raumzeit im Vergleich zur „Standard“-3+1D-Dirac-Gleichung

Einige Unterschiede bestehen darin, dass „ eigentlich “ „ in (1 + 1)-Dimensionen so etwas wie Spin nicht existiert“, was erklären würde, „dass ich gehofft hatte, dem „Spin“ des ψ-Felds eine Bedeutung zuweisen zu können “ zitiere in Ihrem Dokument und kommt daher, dass „Die kleine Gruppe$G(0)$kann als Definition des Spins eines Teilchens genommen werden" ( S.307 ) , aber trotzdem " gibt es Majorana- oder Weyl-Spinoren in zwei Dimensionen für jede beliebige Signatur. Darüber hinaus gibt es in der zweidimensionalen Minkowski-Raumzeit Majorana-Weyl-Fermionen “, wie aus der folgenden Tabelle (aus Polchinski Bd. 2 Anhang A) ersichtlich ist, wo die Größe der Dirac-Gammamatrizen von der Dimension des Raums abhängt und die Möglichkeit, die Dirac-Darstellung auf Weyl- oder Majorana-Darstellungen zu reduzieren, hängt von den Dimensionen ab, wobei wir zB in 4D nur Weyl oder Majorana haben können, aber nicht beide, während wir in 1-1 beide haben können.Dies sind einige grundlegende Unterschiede$SO(2,1)$Der dimensionale Fall hat auch bizarre Eigenschaften, die " Anyonen ", Analoga von Bosonen und Fermionen , ermöglichen .

Zu den "Zweigen" kommentieren Sie P7 Ihrer Notizen - genau wie die Lorentz-Gruppe$SO(3,1)$getrennt ist, die Gruppe$SO(1,1)$ist auch getrennt, wie jeder$SO(p,q)$Gruppe, wenn beide$p,q > 1$. Der Autor vergleicht diese getrennte Gruppe mit der verbundenen Gruppe$SO(3)$bei dem Versuch zu verstehen, was los ist, und bezieht sich so auf$SO(1,1)$im Vergleich zu "uncharakteristisch disjunkt" getrennt werden$SO(3)$Dies ist jedoch seit der Lorentz-Gruppe sehr natürlich$SO(3,1)$ist auch getrennt.

Zum Begriff "existiert Spin in 1 + 1-Dimensionen" hängt dies meiner Meinung nach davon ab, wie man ihn definiert. Die Gamma-Matrizen können in Zeit plus die Pauli-Spin-Matrizen aufgeteilt werden; Was Sie tun, wenn Sie von 3 Dimensionen in den Pauli-Spin-Matrizen auf nur 1 Dimension wechseln, ist, dass Sie sich darauf beschränken$\sigma_z$und den anderen verlassen$\sigma$Matrizen ab. Der Spin existiert also noch als Eigenvektoren zu$\sigma_z$.

Was „die zwei Zweige des Spinors disjunkt sind“ bedeutet: Ein Unterschied zwischen Vektoren (die der Fundamentaldarstellung von SO(3) folgen) und Spinoren (die der Fundamentaldarstellung von SU(2) folgen) besteht darin, dass Spinoren „doppelt bewertet“ sind ". Rotieren eines Spinors durch$2\pi$sein Vorzeichen ändert, also mit -1 multipliziert, tritt bei einem Vektor keine solche Änderung auf.

Jetzt ist der Ausdruck "Drehen eines Spinors um$2\pi$'' muss genauer definiert werden. Um die komplexe Phase zu erhalten$-1 = \exp(2i\pi\;\;(2\pi/4\pi))$Sie brauchen für die Rotation, um herauszuschneiden$2\pi$ster-Radiant der Bloch-Kugel, deren Gesamtoberfläche ist$4\pi$. Sie könnten dies tun, indem Sie sich entlang eines Großkreisbogens von +z nach +x nach -z nach -x und dann nach +z drehen. Dies erfordert jedoch die Verwendung der x-Dimension und ist daher in 1 + 1-Dimensionen unmöglich. Daher ist die doppelte Abdeckung in 1 + 1-Dimensionen disjunkt, während Sie Rotationen verwenden können, um zu zeigen, dass sie nicht in 2 + 1 oder 3 + 1 oder 4 + 1 oder größer ist.

Als Entschuldigung für Berechnungen können Sie die Drehung durchführen, indem Sie BHs und Kets multiplizieren, um in verschiedene Richtungen zu drehen. Das Minuszeichen beim Drehen eines Spinors durch die Großkreisroute von +z nach +x und wieder zurück bis +z wird durch ein Produkt von Projektionsoperatoren (reine Dichtematrizen) gegeben, die ein Minuszeichen multipliziert mit dem Projektionsoperator ergeben für Spin in +z-Richtung. Das ist:

$|+z\rangle\langle+z||-x\rangle\langle-x||-z\rangle\langle-z||+x\rangle\langle+x||+z\rangle\langle+z| = -|+z\rangle\langle+z|/4$

wobei das - Zeichen aus der geometrischen Phase stammt$\exp(2i\pi\;(2\pi/4\pi)) = \exp(i\pi) = -1$und das 1/4 kommt von den vier Verlusten von jedem$\sqrt{1/2}$in der Amplitude bei jeder Spin-Änderung.

Wechseln Sie nun von Spinoren zu Vektoren (z. B. die grundlegende Wiederholung von SO (3) oder Spin-1-Wiederholung von SU (2) und führen Sie die gleiche Berechnung wie oben durch, das Minuszeichen verschwindet, da die Darstellungen keine doppelten Abdeckungen sind.