Lorentztransformation des Spinorfeldes

Ich lese Kapitel 3 von Peskin und Schroeder und stecke auf Seite 43 von P&S fest. Sie haben die Lorentz-Generatoren in der Spinor-Darstellung wie folgt definiert:

$$\begin{equation} S^{\mu \nu} = \frac{i}{4}[\gamma^\mu,\gamma^\nu] \end{equation}$$ so dass eine endliche Transformation gegeben ist durch: $$\begin{equation} \Lambda_{1/2}=e^{-\frac{i}{2} \omega_{\mu \nu} S^{\mu \nu}} \end{equation}$$ wo $\gamma^\mu$sind die Gammamatrizen und $\omega_{\mu \nu}$sind die Elemente einer reellen und einer antisymmetrischen Matrix. Laut P&S auf Seite 43 (zwischen Gleichung (3.32) und (3.33) sagen sie, dass sich der Adjungierte eines Dirac-Spinors wie folgt transformiert: $$\begin{equation} \psi^\dagger \rightarrow \psi^\dagger \left(1+\frac{i}{2} \omega_{\mu \nu}(S^{\mu \nu})^\dagger \right) \end{equation}$$ Ich würde jedoch erwarten, dass die Transformation so ist: $$\begin{equation} \begin{aligned} \psi^\dagger & \rightarrow \psi^\dagger \left(1-\frac{i}{2} \omega_{\mu \nu}S^{\mu \nu} \right)^\dagger \\& = \psi^\dagger \left(1+\frac{i}{2} (\omega_{\mu \nu})^\dagger (S^{\mu \nu})^\dagger \right) \\& = \psi^\dagger \left(1-\frac{i}{2} \omega_{\mu \nu} (S^{\mu \nu})^\dagger \right) \end{aligned} \end{equation}$$ wobei ich in der letzten Zeile davon Gebrauch gemacht habe $\omega$ist eine reelle und antisymmetrische Matrix: $$\begin{equation} (\omega_{\mu \nu})^\dagger = (\omega_{\mu \nu})^T = \omega_{\nu \mu} = - \omega_{\mu \nu} \end{equation}$$ Dies impliziert, dass nach meinen Berechnungen Gleichung (3.33) von P&S eigentlich lauten sollte: $$\begin{equation} \overline{\psi} \rightarrow \overline{\psi} \Lambda_{1/2} \end{equation}$$ Diese Gleichung muss falsch sein, weil sie das bedeutet $\overline{\psi} \psi$transformiert sich nicht als Skalar und daher ist die Dirac-Lagrange-Funktion nicht korrekt. Allerdings weiß ich nicht, wo mein Fehler liegt und hatte gehofft, dass mir jemand helfen könnte?