Interpretation von Dirac-Spinor-Komponenten in chiraler Repräsentation?

Soweit ich feststellen konnte, ist es im Allgemeinen nicht möglich, verschiedene Lösungen der Dirac-Gleichung als „Elektronenlösungen“ oder „Positronenlösungen“ zu interpretieren.

Für massive Fermionen können wir vier unabhängige Spinoren identifizieren, die einem Teilchen mit 4-Impuls entsprechen$p$. In der Dirac-Darstellung haben wir zwei dem Ansatz entsprechende Lösungen$u(p) e^{- i p \cdot x}$, die für ruhende Teilchen die Form annehmen:

$$u_1 = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \mathrm{and} \qquad u_2 = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \,.$$ Diese sollen jeweils dem Spin-up-Elektron und dem Spin-down-Elektron entsprechen. Wir haben auch zwei dem Ansatz entsprechende Lösungen $v(p)e^{i p \cdot x}$, die für ruhende Teilchen sind: $$v_1 = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \mathrm{and} \qquad v_2 = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \,.$$ Diese sollen jeweils dem Spin-down-Positron und dem Spin-up-Positron entsprechen. Das scheint alles schön und gut zu sein, aber jetzt wiederholen wir dieses Rezept mit masselosen Fermionen. Wir verwenden die Weyl-Darstellung und nehmen an, dass unser 3-Impuls in Richtung des Positiven gerichtet ist $z$-Achse. Mit unserem anfänglichen Ansatz finden wir die Dirac-Gleichung reduziert auf: $$(\gamma^0 - \gamma^3)u(p) = 0 \,.$$ Mit unserem zweiten Ansatz reduziert sich die Dirac-Gleichung jedoch auf dasselbe: $$(\gamma^0 - \gamma^3)v(p) = 0 \,.$$ Diese Gleichungen wären nicht identisch, wenn $m \neq 0$. Es gibt nur zwei unabhängige Lösungen: $$u_1 = v_1 = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \mathrm{and} \qquad u_2 = v_2 = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \,.$$ Wir können also nicht einfach einen bestimmten Spinor so interpretieren, dass er etwa einem „Spin-up-Elektron“ entspricht, denn derselbe Spinor müsste auch einem „Spin-down-Positron“ entsprechen.

Die Erwartung, dass wir vier Lösungen hätten finden müssen – je eine für die vier Wahlmöglichkeiten von oben/unten und Teilchen/Antiteilchen – scheint mir falsch, weil Antiteilchen nur in der Quantentheorie ein sinnvoller Begriff sind und nicht müssen entsprechen unabhängigen Spinoren in der klassischen Theorie. Zur Veranschaulichung: Eine Theorie mit zwei gleichen Massen, aber ansonsten unterschiedlichen Fermionen hätte acht verschiedene Quantenzustände für jede Wahl des Impulses, aber Sie würden sicherlich keine acht verschiedenen Spinorlösungen für die klassischen Gleichungen finden. Ihr Spin-Up-„Elektron“ und Spin-Up-„Myon“ würden durch denselben Spinor beschrieben, aber das macht sie nicht zum selben Zustand!

Heristisch läuft es darauf hinaus, dass die Paritätstransformation (P) das Vorzeichen von umkehrt$\gamma$Matrizen, während CT dreht$\gamma^\mu\to-\left(\gamma^\mu\right)^T$. Dies sind wiederum äquivalente Darstellungen der Dirac-Algebra, und die Verflechter werden allgemein genannt$\gamma^5$und$C$. Beachten Sie, dass die C- und T-Transformationen selbst keine Symmetrien der Dirac-Algebra sind.

Sie scheinen die Konvention zu verwenden, wo die$\gamma$Matrizen bestehen aus den Pauli-Matrizen,

$$\gamma=\begin{pmatrix}0&\sigma^\mu\\\bar\sigma^\mu&0\end{pmatrix}\,.$$ Hier,$\sigma^\mu=\left(\mathbb I,\sigma^i\right)$und$\bar\sigma^\mu=\left(\mathbb I,-\sigma^i\right)$. ($\mathbb I$ist die Einheitsmatrix - ich kann anscheinend nicht den richtigen Doppelstrich 1) bekommen. Dann $$\gamma^5=\text{i}\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 =\begin{pmatrix}\mathbb I&0\\0&-\mathbb I\end{pmatrix}\,,$$ und die chiralen Projektoren$P_{L/R}=\frac{1}{2}\left(1\pm\gamma^5\right)$projizieren Sie auf die oberen und unteren zwei Komponenten eines Vierspinors. Daher sind chirale Spinoren $$\Psi_L=\begin{pmatrix}\chi_\alpha\\0\end{pmatrix}\quad\text{ and }\quad\Phi_R=\begin{pmatrix}0\\\bar\xi^{\dot\alpha}\end{pmatrix}\,.$$ (Die Indexplatzierungen und verschiedenen Vorzeichen sind Konventionssache.) Ihre "Ladungskonjugate" sind $$\left(\Psi_L\right)^c=C\overline{\Psi_L}^T=\begin{pmatrix}0\\\bar\chi^{\dot\alpha}\end{pmatrix}$$ und ähnliches für$\Phi_R$. Sie sehen, dass dies die Chiralität umkehrt, aber auch die Ladung: Ladungen werden durch die Transformation unter einigen bestimmt$U(1)$, und da es sich um eine komplexe Konjugation handelt, wird die Transformation umgekehrt. Bei nicht-abelschen Gruppen landen Sie in der konjugierten Darstellung. In beiden Fällen erhalten Sie am Ende ein Objekt mit entgegengesetzter Ladung zum ursprünglichen. Daher kann ein Majorana-Spinor, dh ein Dirac-Spinor, der gleich seiner konjugierten Ladung ist, kein a haben$U(1)$laden (oder in einer nicht-realen Darstellung sein). Darüber hinaus kann ein solcher Spinor genauso gut durch einen einzelnen linkshändigen (oder rechtshändigen) Weyl-Spinor beschrieben werden. (Beachten Sie, dass dies in sechs oder zehn Dimensionen anders ist, wo die Ladungskonjugation die Chiralität nicht umkehrt.)

Um also das Elektron zu beschreiben (eigentlich eine Spielzeugversion mit nur elektrischen und keinen schwachen Ladungen), können Sie zwei linkschirale Spinoren verwenden,$\chi_\alpha$und$\xi_\alpha$, mit entgegengesetzter Ladung oder ein Objekt aus vier Komponenten

$$\Psi=\begin{pmatrix}\chi_\alpha\\\bar\xi^{\dot\alpha}\end{pmatrix}\,.$$