Wie kann man beweisen, dass Weyl-Spinor-Gleichungen Lorentz-invariant sind? [Duplikat]

Das Wichtigste ist, dass Sie einen Vertrag abschließen$\partial_\mu$in entweder$\sigma^\mu,\bar{\sigma}^\mu$. Erwägen Sie, einen allgemeinen Vektor zu kontrahieren$p^\mu$

$$\sigma^\mu p_\mu = \left(\begin{array}{cc} p^0-p^3& -p^1+ip^2\\ -p^1-ip^2 &p^0+p^3 \end{array}\right)$$ Beachten Sie, dass die Determinante nur die Norm des Vektors ist: $(p^0)^2-(p^1)^2-(p^2)^2-(p^3)^2$.

Wenn Sie diese Matrix zwischen einige legen$U$Und$U^{-1}$die Determinante bleibt unverändert

$$\det\left(U\sigma^\mu p_\mu U^{-1}\right)=\det\left(\sigma^\mu p_\mu \right)$$ es entspricht also einer Lorentz-Transformation.

Damit wir schreiben können

$$\sigma^\mu (\Lambda^{\mu'}_\mu p_{\mu'})=U(\Lambda)\sigma^\mu p_\mu U(\Lambda)^{-1}$$ für einige 2 mal 2 Matrix $U(\Lambda)$.

Es stellt sich heraus, dass$U(\Lambda)$ist die gleiche Matrix, die Sie verwenden, um Ihren rechten Spinor zu transformieren, daher sind die Weyl-Gleichungen unveränderlich.

Nehmen Sie als Übung beispielsweise eine endliche Drehung um die z-Achse:

$$I-i\frac{\theta}{2}\sigma^3+\dots=\exp(-i\frac{\theta}{2}\sigma^3)=\left(\begin{array}{cc} \exp(-i\frac{\theta}{2})& 0\\ 0 &\exp(+i\frac{\theta}{2}) \end{array}\right)$$ Das kannst du zeigen $$\exp(-i\frac{\theta}{2}\sigma^3)\,\sigma^\mu p_\mu\,\exp(+i\frac{\theta}{2}\sigma^3)$$ transformiert die $p^1,p^2$Komponenten als Drehung um Winkel $\theta$.