Woher kommt der Lorentz-Boost für einen Dirac-Spinor?

Vielleicht möchten Sie sich die Ableitung von Lorentz-Transformationen für Dirac-Spinoren ansehen, sagen wir in dem Buch von Itzykson, Zuber. Sie werden aus der Bedingung der relativistischen Kovarianz der Dirac-Gleichung abgeleitet. Die Generatoren der Lorentz-Transformationen sind$[\gamma^\mu,\gamma^\nu]$(bis auf einen konstanten Faktor). Dieser Ausdruck gibt die unterschiedlichen Vorzeichen für Boosts für den rechtshändigen und den linkshändigen Teil des Dirac-Spinors in der chiralen Darstellung an.

Kommentare zur Frage (v3):

1. Daran erinnern, dass die eingeschränkte Lorentz-Gruppe

   $$\tag{1} SO^+(3,1)~\cong~ SL(2,\mathbb{C})/\mathbb{Z}_2$$ ist lokal isomorph zur Lie-Gruppe des Komplexes$2\times 2$Matrizen mit Einheitsdeterminante, vgl. zB meine Phys.SE-Antwort hier . Die Lie-Gruppe von 3D-Rotationen $$\tag{2} SO(3)~\cong~ SU(2)/\mathbb{Z}_2$$ ist eine Untergruppe davon.

2. Die linkshändige Weyl-Spinordarstellung ist die fundamentale Darstellung von$SL(2,\mathbb{C})$. Ein linkshändiger Weyl-Spinor$\psi^{\alpha}_L$(mit oberen Indizes) transformiert als

3. Die rechtshändige Weyl-Spinor-Darstellung ist mathematisch gesprochen die komplex konjugierte Darstellung . Dies bedeutet einen rechtshändigen Weyl-Spinor$\psi^{\dot{\alpha}}_R$(mit oberen Indizes) transformiert als

   $$\tag{4} \psi^{\bullet}_R~\longrightarrow~\psi^{\prime\bullet}_R ~=~g^{\ast} \psi^{\bullet}_R, \qquad g~\in~SL(2,\mathbb{C}),$$ Wo$g^{\ast}$bezeichnet das komplexe Konjugat$2\times 2$Matrix.

4. Physiker senken oft den Index des rechtshändigen Weyl-Spinors

   $$\tag{5}\psi_{\dot{\alpha}}^R~=~\varepsilon_{\dot{\alpha}\dot{\beta}}\psi^{\dot{\beta}}_R$$ mit dem Levi-Civita-Tensor$\varepsilon_{\dot{\alpha}\dot{\beta}}$. Der rechtshändige Weyl-Spinor$\psi_{\dot{\alpha}}^R$(mit niedrigeren Indizes) transformiert sich als hermitesche konjugierte Darstellung $$\tag{6}\psi_{\bullet}^R~\longrightarrow~ \psi^{\prime R}_{\bullet} ~=~(g^{-1})^{\dagger} \psi_{\bullet}^R, \qquad g~\in~SL(2,\mathbb{C}),$$ aufgrund besonderer Eigenschaften von$2\times 2$Matrizen.

5. Zusammenfassend wird der Unterschied zwischen den Transformationen (3) und (6) für kompakte 3D-Rotationen hinfällig [da sie durch unitäre implementiert werden$2\times 2$Matrizen, vgl. Gl. (2)], induziert aber ein wichtiges relatives Minuszeichen in der nicht kompakten Lorentz-Boosts-Transformationsregel zwischen den linkshändigen und den rechtshändigen Weyl-Spinoren.