Spinordarstellung und Lorentztransformation bei Peskin & Schroeder

Ich bin ein Neuling in der Gruppentheorie. In QFT P.42 (3.29) von Peskin & Schroeder heißt es, da wir haben

(3.29) Λ 1 2 − 1 γ μ Λ 1 2   =   Λ     v μ γ v ,
Wir können das sagen " γ Matrizen sind bei gleichzeitiger Drehung ihrer Vektor- und Spinor-Indizes invariant (genau wie die σ unter räumlichen Drehungen).“ Mit anderen Worten: „Wir können den Vektorindex nehmen μ An γ μ ernsthaft", und Punkt γ μ hinein ∂ μ einen Lorentz-invarianten Differentialoperator zu bilden.

  1. Ich verstehe den Satz nicht " γ Matrizen sind bei gleichzeitiger Drehung ihrer Vektor- und Spinor-Indizes invariant (genau wie die σ unter räumlichen Rotationen)." Es scheint, dass es zwei verschiedene Dinge gibt, das eine bezieht sich auf die Spin-Darstellung und das andere auf die Lorentz-Transformation.

  2. Was bedeutet "we can take the vector index μ An γ μ ernsthaft" meinst du?

  3. Was ist der Unterschied zwischen Spin-Indizes und den Raum-Zeit-Indizes?

Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/28505/2451 und darin enthaltene Links.

Antworten (1)

Wie Sie wahrscheinlich wissen, gibt es verschiedene irreduzible Darstellungen der verschiedenen Symmetriegruppen, die man in der relativistischen Quantenfeldtheorie erhält. Hier haben wir es mit der Lorentz-Symmetrie (Teil der Poincare-Symmetrie) zu tun.

Eine Darstellung, die Spin-Hälften-Darstellung, ist Fermionen zugeordnet, wie man sie in der Dirac-Gleichung findet. Die Indizes dieser Darstellungen sind die Spin-Indizes, wie sie durch die Zeilen und Spalten der Dirac-Matrizen bezeichnet werden. In dieser Darstellung werden die Lorentz-Transformationen durch Spin-Transformationen repräsentiert.

Eine andere Darstellung, die Spin-One-Darstellung, ist mit Vektorfeldern wie den Eichbosonen verbunden. Es ist auch die Darstellung für die Koordinatenvektoren. Die Indizes sind in diesem Fall die Raum-Zeit-Indizes, die normalerweise mit einem griechischen Buchstaben wie z μ . In dieser Darstellung transformieren die Lorentz-Transformationen die Raum-Zeit-Indizes (Rotationen und Boosts).

Man kann ein Paar Spin-Halb-Mengen so kombinieren, dass sie sich wie Spin-Eins-Mengen verhalten. (Dies ist Teil eines allgemeineren Prozesses, bei dem Tensorprodukte irreduzibler Darstellungen einer Symmetriegruppe zu direkten Summen verschiedener irreduzibler Darstellungen dieser Symmetriegruppe werden.) Dies bedeutet, dass ein Produkt zweier Spinhalbgrößen, die jeweils durch Spintransformationen transformiert werden, kann wie eine einzige Spin-Eins-Größe wirken und sich als Raum-Zeit-Vektor transformieren, vorausgesetzt, dass die beiden Größen auf bestimmte Weise kombiniert werden. Es stellt sich heraus, dass die Dirac-Matrizen den richtigen Weg bieten, zwei Spin-Halbmengen zu kombinieren, so dass sie sich in eine einzige Spin-Eins-Menge umwandeln. Gleichung (3.29) demonstriert diese Eigenschaft.

Ich hoffe, das beantwortet alle Ihre Fragen.

„Es stellt sich heraus, dass die Dirac-Matrizen den richtigen Weg bieten, um zwei Spin-Hälften-Mengen zu kombinieren, so dass sie sich in eine einzige Spin-Eins-Menge verwandeln.“ Ich bin mir nicht sicher, was das eigentlich bedeuten soll. Gl. 3.29 zeigt, dass die Transformation der Matrizen als Operatoren auf dem Dirac-Spinorraum die gleiche ist wie ihre Transformationen als Vektoren der Standard-Spin-1-Darstellung.
Das bedeutet es ψ ¯ γ μ ψ transformiert als Vektor, während ψ ¯ Und ψ als Spinoren umwandeln. Du weißt, dass.
Ja, das wusste ich, aber ich wusste nicht, dass du das meinst . Danke für die Klarstellung.
Spinordarstellung und Lorentztransformation bei Peskin & Schroeder
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