(A,B)(A,B)(A,B)-Darstellung der Lorentz-Gruppe: Koeffizientenfunktionen von Körpern

Die Beziehungen zwischen den vierdimensionalen Vektorindizes und der$(a,b)$Indizes können auf diese Weise gefunden werden. Lassen Sie mich zunächst die vierdimensionalen Pauli-Matrizen definieren$\sigma^\mu_{ab}$. Sie haben eine$a$Typindex, a$b$Typindex und a$\mu$Index (also interpolieren sie zwischen den$(1/2,1/2)$und der Vektor).

$$\begin{align} \sigma^0 &= \left(\begin{array}{cc} -1 & 0\\ 0 & -1\end{array}\right)\,,& \sigma^1 &= \left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 0\end{array}\right)\,,\\ \sigma^2 &= \left(\begin{array}{cc} 0 & -i\\ i & 0\end{array}\right)\,,& \sigma^3 &= \left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & -1\end{array}\right)\,. \end{align}$$ Lassen Sie mich auch die konjugierten Matrizen als definieren$\bar{\sigma}^{\mu ba} = ( \sigma^0, -\sigma^{1,2,3})$. Ein Lorentz-Vektor kann in Bispinor-Notation umgewandelt werden $$\mathrm{v}_{ab} = \sigma^{\mu}_{ab} v_\mu\,,\quad v^\mu = -\mbox{$\frac{1}{2}$}\,\mathrm{v}_{ab} \bar{\sigma}^{\mu ba}\,,\quad\det(\mathrm{v}_{ab}) = -v^2\,.$$ Nicht reduzierbare Darstellung der Form$(A,B)$sind Tensor mit$2A$ $a$Typindizes und$2B$ $b$Typindizes und die$a$Indizes sind untereinander symmetrisiert, sowie die$b$Indizes. Also sowas wie $$\mathrm{v}_{(a_1\ldots a_A)(b_1\ldots b_B)}\,.$$ Seit$a$Und$b$Werte nehmen$1,2$Antisymmetrisierung ist äquivalent zur Kontraktion mit$\epsilon_{a_1a_2}$oder$\epsilon_{b_1b_2}$somit haben wir keine irreduziblen Darstellungen mit antisymmetrisierten Indizes.

Wenn$A=B$, um daraus einen Lorentz-Tensor zu erhalten, kontrahieren Sie einfach mit Pauli-Matrizen

$$v^{\mu_1\ldots \mu_{A}} = \left(-\frac{1}{2}\right)^A \bar{\sigma}^{\mu_1 a_1b_1}\cdots \bar{\sigma}^{\mu_A a_Ab_A}\mathrm{v}_{(a_1\ldots a_A)(b_1\ldots b_A)}\;.$$ Wenn stattdessen$A\neq B$wir können so viele Indizes wie möglich kontrahieren, wobei Pauli-Matrizen übrig bleiben$|A-B|$ $a$oder$b$Indizes unkontrahiert. Für den Rarita-Schwinger$(A,B) = (1,1/2)\oplus(1/2,1)$. Wir haben dann $$\psi^\mu_{a_2} = \bar{\sigma}^{\mu a_1 b_1} \Psi_{(a_1 a_2) b_1}\,,\qquad \psi^\mu_{b_2} = \bar{\sigma}^{\mu a_1 b_1} \Psi_{a_1(b_1 b_2)}\,.$$ Dies wird zu Ausdrucksformen führen, die in den vollkommen symmetrisch sind$\mu$Indizes. Wir wissen, dass es auch Darstellungen mit antisymmetrisierten Indizes gibt. Für diese können wir zwei weitere Objekte definieren. $$\sigma^{\mu\nu\phantom{a_1}a_2}_{\phantom{\mu\nu}a_1} = \frac{1}{4}\left(\sigma^{\mu}_{a_1b}\bar{\sigma}^{\nu b a_2} - \sigma^{\nu}_{a_1b}\bar{\sigma}^{\mu b a_2}\right)\;,\qquad \bar{\sigma}^{\mu\nu b_1}_{\phantom{\mu\nu b_1}b_2} = \frac{1}{4}\left(\bar{\sigma}^{\mu b_1a}\sigma^{\nu}_{a b_2} - \bar{\sigma}^{\nu b_1a}\sigma^{\mu}_{a b_2} \right)\;.$$ Mir ist kein allgemeines Verfahren bekannt, um alle zu reduzieren$(A,B)$Tensor zu$\mu$Tensoren, aber ich kann Ihnen ein Beispiel für die Feldstärkedarstellung machen$(A,B) = (1,0)\oplus(0,1)$. Berufung$F^{\mu\nu}$die selbst-duale Komponente und$\tilde{F}^{\mu\nu}$die anti-selbst-duale Komponente, die wir haben $$F^{\mu\nu} = \sigma^{\mu\nu a_1 a_2} \mathrm{F}_{(a_1 a_2)}\,,\quad \tilde{F}^{\mu\nu} = \bar{\sigma}^{\mu\nu b_1 b_2} \mathrm{F}_{(b_1 b_2)}\,.$$ Der$a$Und$b$Indizes werden mit dem zweidimensionalen angehoben und abgesenkt$\epsilon$Tensor. Lassen Sie mich auch an die Definition für selbst-dual und anti-selbst-dual erinnern: $$\varepsilon^{\mu\nu\rho\lambda}F_{\rho\lambda} = -2 i F^{\mu\nu}\,,\qquad \varepsilon^{\mu\nu\rho\lambda}\tilde{F}_{\rho\lambda} = 2 i \tilde{F}^{\mu\nu}\;.$$ Diese Notation ist ein bisschen schwer zu verstehen, aber sie ist sehr präzise. Die Standardkonvention ist in einem der Anhänge von Wess & Baggers Supersymmetry and Supergravity dargelegt. In ihren Konventionen$a$Indizes bezeichnet sind$\alpha,\beta,\ldots$Und$b$Indizes als$\dot{\alpha},\dot{\beta}\ldots$.