Natur der Felder in QFT

Ja, deine Verwirrung ist ganz darauf zurückzuführen, dass du klassisch denkst ;)

Teilchen sind gewissermaßen lokalisierte Anregungen der quantisierten Felder.

Das QFT-Bild enthält das Teilchenbild in dem als Feynman-Diagramm bekannten Störungsansatz (und damit zusammenhängend den LSZ-Formalismus ). Dort wird uns die Wirkung unserer Theorie in Abhängigkeit von einigen Feldern (sei es Skalar, Fermion, Vektor, Rarita-Schwinger, Tensor oder noch höherer Spin) gegeben. Ein instruktives Modell ist sog$\phi^4$-Theorie mit der (hier masselosen) Wirkung

Teilchen werden in der asymptotischen Vergangenheit und Zukunft erhalten ($t = \pm \infty$) unter der Annahme, dass der Wechselwirkungsterm $\frac{\lambda}{4!}\phi^4$spielt keine Rolle, wenn die Erregungen der Felder weit auseinander liegen, also haben wir dort eine freie Theorie mit freier Wirkung$S_0[\phi] = \frac{1}{2}\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi$und das klassische eom erlaubt die übliche moduserweiterung von$\phi$in Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren von Teilchen mit bestimmtem Impuls,$a^\dagger(\vec p)$bzw.$a(\vec p)$. Die Erzeuger/Vernichter entsprechen beispielsweise im Quantenharmonischen Oszillator denselben Leiteroperatoren, weshalb man sagt, dass sie Anregungen des Quantenfeldes darstellen. Nun sagen Ihnen die Feynman-Diagramme/LSZ-Formalismus, was mit welcher Wahrscheinlichkeit passiert, wenn Sie diese freien Teilchen interagieren lassen – sie lassen Sie die Streuamplituden berechnen , die im Wesentlichen die Einträge in der S-Matrix sind . Die "Feynman-Regeln" zum Aufschreiben von Diagrammen sagen uns das für unsere$\phi^4$Aktion haben wir als Bausteine ​​eine Art von Linien/Teilchen, die dem Skalarfeld entsprechen$\phi$, und dass nur solche Graphen gültig sind, die entweder nur diese Linien enthalten, die sich überhaupt nicht kreuzen, oder solche, die Knoten enthalten, die dem Wechselwirkungsterm entsprechen$\frac{\lambda}{4!}\phi^4$, dh Kreuzungen von vier dieser Skalarlinien.

Nun können wir auch von virtuellen Teilchen sprechen , wovon das einzig Unumstrittene ist, dass es sich um interne Linien in den Feynman-Diagrammen handelt, die nicht den realen Teilchen in unseren freien Erzeugungs-/Vernichtungsräumen entsprechen , aber oft von ihnen gesprochen wird auch als Teilchen.

Es gibt auch Resonanzen , zu denen ich mich an eine passende Behandlung in Srednicki zu erinnern scheine, aber ich traue mich nicht, darüber etwas zu verkünden, außer dass sie auch oft unter dem Begriff "Partikel" in einen Topf geworfen werden.

Fundamentale Fermionen wie Quarks und Leptonen werden durch das Spinorfeld beschrieben, während Eichbosonen wie Photonen durch das Vektorfeld beschrieben werden. Sie zusammen mit den Higgs-Bosonen sind derzeit das, was wir im Standardmodell für Elementarteilchen haben.

Die QFT basiert stark auf dem gruppentheoretischen Formalismus. Wenn Leute über eine QFT-Theorie sprechen, sagen sie oft in erster Linie über die Symmetrien der Theorie - Invarianz der Lagrangian der Theorie (oder über Kovarianz von Bewegungsgleichungen) unter Sätzen von Transformationen. Die Gruppentheorie formalisiert diese Aussagen und hilft, Theorien zu konstruieren, die einem gegebenen Teilchen mit Wechselwirkung ohne weiteres Nachdenken entsprechen.

Freie Theorien in der QFT basieren also auf irreduziblen (in gewissem Sinne - den elementarsten) Darstellungen der Poincare-Gruppe, da diese Gruppe die lokal exakten (ich vernachlässige die allgemeine Relativitätstheorie) Symmetrien unserer Raumzeit darstellt: Isotropie und Homogenität.

Die Poincare-Gruppe enthält natürlich eine Beschreibung von Masse und Spin. Die irreduzible Darstellung der Gruppe ist durch Zahlenmengen gekennzeichnet, die als Eigenwerte sogenannter Casimir-Operatoren gegeben sind. In einem Fall der Poincare-Gruppe gibt es zwei Casimir-Operatoren -$P^{2}$(Quadrat des Übersetzungsoperators, sein Eigenwert ist das Quadrat der Masse) und$W^{2}$(Quadrat des Pauli-Lubanski-Operators, sein Quadrat ist das Quadrat des Eigendrehimpulses - Spin). Also für Quantenfeld$\psi$müssen folgende Aussagen wahr sein:

Die Wechselwirkungstheorien dieser Felder müssen den Anforderungen der Lorentz-Invarianz und Kausalität genügen.

Nach einigen "Manipulationen" erhalten Sie die Anweisung dieses Feld mit$n$undotierte Spinor-Indizes und$m$gepunktete Spinor-Indizes, die unter Indexpermutationen symmetrisch sind, repräsentieren Teilchen mit Spin$s = \frac{n + m}{2}$. Die notwendige Bedingung dafür, dass die Theorie Lorentz-invariant und kausal ist, ist, dass Teilchen mit halbzahligem Spin Fermi-Dirac-Statistiken (Fermionen) haben, während Teilchen mit ganzzahligem Spin Bose-Einstein-Statistiken (Bosonen) haben.

Im Standardmodell sind die meisten stabilen Elementarteilchen Fermionen, während grundlegende Wechselwirkungen durch Bosonen dargestellt werden. Die fundamentalen Wechselwirkungen werden durch den speziellen Weg konstruiert - entsprechende Theorie muss unter Mengen lokal eichinvariant sein$SU(n)$Transformationen. Die Wurzeln dieser Behauptung liegen in der Tatsache, dass das freie elektromagnetische Feld$A_{\mu}$Theorie ist eichinvariant.

Die Schlussfolgerung lautet also: Die elementarsten Theorien fundamentaler Wechselwirkungen sind durch Sätze von Symmetrien gekennzeichnet, die als direktes Produkt der Poincare-Gruppe und der Gruppe interner Symmetrien dargestellt werden.

Welche Art von Feld Sie haben, hängt davon ab, wie sich Ihr Feld transformiert. Die Felder, denen Sie in der Quantenfeldtheorie begegnen, sind normalerweise:

1. Skalare Felder, diese beschreiben Spin-0-Teilchen wie das Higgs-Boson.
2. Spinorfelder, diese beschreiben Spin-1/2-Teilchen, diese beschreiben beispielsweise die elementaren Fermionen, wie die Leptonen und Quarks.
3. Vektorfelder, diese beschreiben Spin-1-Teilchen wie zB das Photonenfeld.

Wenn Sie über das Standardmodell hinausgehen, erhalten Sie Spin 3/2-Felder und Spin 2-Felder (das Graviton).