Dochtrotation und Spinoren

Ich bin mit der Verwendung von Wick-Rotationen in QFT ziemlich vertraut, aber eine Sache ärgert mich: Nehmen wir an, wir führen sie aus, um ein funktionales Integral, das Spinoren enthält, bequemer zu behandeln (dh konvergieren zu lassen); Wenn wir diese Wick-Rotation durchführen, ändern wir die Metrik in gewisser Weise auf ( − , + , + , + ) zu ( + , + , + , + ) , also gibt es die invariante Gruppe nicht mehr S Ö ( 3 , 1 ) aber S Ö ( 4 ) und ( S Ö ( 4 ) kompakt und die Spinor-Darstellung nicht einheitlich ist) tragen Spinoren keine endlichdimensionale Darstellung dieser Gruppe. Ich habe also das Gefühl, dass wir nicht mehr über diese Objekte sprechen sollten, sondern nur noch über Vektoren von S Ö ( 4 ) .

Ist meine Angst berechtigt? oder wo liege ich in meiner überlegung falsch?

Sie könnten diese Papiere interessant finden: arxiv.org/abs/hep-th/9608174 , arxiv.org/abs/hep-th/9611043
Kannst du genauer spezifizieren wo das Problem liegt? Veranschaulichen Sie es wahrscheinlich mit einem funktionalen Integral.
Warum sagen Sie, dass es keine endlichdimensionale Spinordarstellung von SO(4) gibt? Wie wäre es zum Beispiel mit dieser Diskussion ?

Antworten (2)

Ich glaube nicht, dass ich deiner Aussage folgen kann:

Spinoren tragen keine endlichdimensionale Darstellung dieser Gruppe.

Ich knüpfe in diesem Kommentar an die ursprüngliche Frage an.

Aber vielleicht ist eine praktischere Antwort auf Ihre Bedenken, dass das Objekt, das Sie integrieren, normalerweise eine skalare Größe ist, wenn Sie ein Schleifenintegral in der Quantenfeldtheorie durchführen - es ist das Quadrat eines Matrixelements. Alle Spinoren innerhalb des Ausdrucks haben sich also mit anderen Spinoren zusammengezogen (mit einigen Objekten wie Impulsen, die darin gepunktet sind γ /Pauli-Matrizen eingeklemmt).

Als ich im ersten Kurs studierte und die spezielle Relativitätstheorie untersuchte, sagte der Dozent über die alte Interpretation der Relativitätstheorie. Bei diesem Ansatz werden stattdessen pseudoeuklidische Metriken und Vierervektoren verwendet ( t , x ) Menschen verwenden euklidische Metrik und Vierervektoren ( ich t , x ) . Aber das bedeutet nicht, dass wir die Gruppe SO(4) verwenden! Wir verwenden auch die SO(3,1)-Gruppe, aber wir nehmen einige Variablenänderungen vor.

Die Wick-Rotationen sind dasselbe, es ist nur keine Änderung der Variablen mehr.

Diese „Änderung der Variablen“ ist imaginär, und das bedeutet, dass wir sie nicht mehr verwenden können S Ö ( 3 , 1 ) , das ist eine echte Gruppe. Wir können entweder die komplexe Version verwenden, die eher ungewohnte C S Ö ( 3 , 1 ) = S Ö ( 4 , C ) , oder wählen Sie eine passende reale Version davon, die genau ist S Ö ( 4 ) . (Man kommt nicht immer damit durch, bei Komplexierungen unbekümmert zu sein.)
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